电磁学第一章(4)

??R2??r?? （4分） E外?r;E内?r2?0r2?0以轴线为电位参考点得

U内??r0??0?r?r2?r?R?(2分）E内dr??rdr??2?04?0

2R?R?R2?R2?R2R?R2?R??4分）U外????rdr???ln??2ln?1??r?R（4?02?0r4?02?0r4?0?r?Q3R2?r216、电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，设无究远处为电势零点，试证明离球心r(r

3q1Qr2R?4分? U1=??34??0r4??0r4??0R球面外电荷产生的电势，在球面外取r??r??dr的薄球层，其上电量

??Qr3Q3Q22?dq?4?rdr?3r?dr? 3R4?R3它对该薄层内任一点产生的电势为

dU2?dq3Q?r?dr?（2分）34??0r?4??0R3Q3QR2?r2R?2分?U2??dU2?r?dr??3?r34??0R8??0R??

Qr23QR2?r2Q3R2?r2?2分?U?U1?U2???3334??0R8??0R8??0R??若根据电势定义U??EdL直接算出同样给分

17、一电荷面密度为?，的“无限大”平面，在距平面a米远处的一点场强大小的一半是由平面 上的一个半径为R的圆面积范围内的电

荷所产生的，试求该圆半径的大小 （10分）

解：电荷面密度为?的无限大均匀带电平面在任意点场强大小为E图中O点为圆心，取半径为r??????2?0?2分?

?r?dr的环形面积，其电量为dq??2?rdr?2分?

它在距离平面为a的一点处产生的场强dE??ardr2?0a2?r?322?（2分）

则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为

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??aRrdr??aE???1?2??2分?3?022?0?a2?r2?22?0?a?R? 由题意,令E??4?0,得到R?3a?2分?18、一高为h的直解形光滑斜面，斜面倾角为?。在直角顶点A处有一电量为-q的点电荷，另有一质量为m带电量+q的小球在斜面的顶

点B由静止下滑。设小球可看作质点，试求小球到达斜面底部C点时的速率 （5分） 解：因重力和电场力都是保守力，小球从顶点B到达C点过程中能量守恒

q21q22?3分???mgh?m??4??0h24??0hctg?

2?q??tg??1??2gh??2分??????2??0mh?19、一带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为???0sin?，式中?0为一常数，?为半径R与X轴所成的夹角，如图所示，

试求环心O处的电场强度

解：在?处取电荷元，其电量为dq=?dl=?0Rsin

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?d?

它在O点产生的场强为dE??0sin?d?dq?2分? ?24??0R4??0R 在X、Y轴上的二个分量dEx??dEcos?1分,dEy??dEsin?1分 对名分量分别求和

?????0?Ex??sin?cos?d??0?2分??04??0R?0?2?0 Ey???2分? sin?d????04??0R8?0R????0??E?Exi?Eyj??j?2分?8?0R20、如图所示，在电矩为P的电偶极子的电场中，将一电量为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，R大于

电偶极子正负电荷之间距离）移到B点，求此过程中电场力所作的功。 （10分）

???p?r 解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势U?

4??0r3? 式中r为从电偶极子中心到场点的矢径（5分）

于是知A、B两点电势分别为

R ?pA B 17

UA?UB??p4??0R2p???p?p24??0R

q从A移到B电场力作功?与路径无关?为qp?5分?A?q?UA?UB???2??0R221、假如静电场中某一部分的电力线的形状是以O点为中心的同心圆弧，如图所示。试证明：该部分上每点的电场强度的大小都应与该点

到O点的距离成反比 （5分）

?? 证：由任意两条同心圆弧作扇形小环路abcda。设E1和E2分别为ab和cd 段路径的场强，bc和da段路径与场强方向垂直（2分）

按静电场的环路定理： ????b??c??d??a??Edl?Edl?Edl?Edl?Edl?E?ab?E?cd?0?2分??l?a1?b?c2?d12? E1cdr2??r2??????1分?E2abr1??r1a d c b O

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