高数C下整理(6)

五、求幂级数

?nxn?1?n?1n(?1)n?1的收敛域、和函数，并求级数?的和（8分） n?13n?1?

六、（8分）某工厂生产两种产品A与B，单位产品售价分别为10元和9元，生产x单位产品A与生产y单位的产品B的总费用是

C(x,y)?0.01(3x2?xy?3y2)?2x?3y?400

求取得最大利润时两种产品的产量。

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上海海洋大学试卷答案

学年学期 课程名称 课程号 题号 分数 阅卷人 一 2012 ~ 20 13 学年第二学期 高等数学C（二） 1101406 二 三 四 学分 五 六 4 七 考核方式 A/B卷 学时 八 九 闭卷 （ A ）卷 64 十 总分 一、选择题（6?3?共18分）

1、若y1，y2是某个二阶线性齐次方程的解，则C1y1?C2y2（C1，C2是任意常熟）是（ C ）

A 是方程的通解； B 不是方程的解； C 是方程的解； D 可能是方程的解，也可能不是方程的解

2．下面说法对函数偏导数、全微分以及连续性描述正确的是（ D ）

A 偏导数存在，全微分一定存在； B 全微分存在，偏导数一定存在且连续 C 函数连续且偏导数存在，全微分一定存在；D 全微分存在，函数一定是连续的

3．?(4?x2?x)dx?（ B ）

?22A.? B.2? C.4? D.8?

4．设D:x2?y2?a2，则??2dxdy?（ B ）

D2A 2 B 2?a2 C 0 D ?a

5．设f(x,y)?arcsinx，则fx(x,1)?（ B ） yA

111 B C x D 1?

x2x(1?x)2x?x2?(?1)nn6.判断级数?的敛散性，答：（ A ）

n?1n?2A 发散； B 条件收敛； C绝对收敛；D 不能确定

二、填空题（5?4?共20分）

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1．

(x,y)?(0,0)limx2?y2?sinx2?y2?x2?y2?3=

1； 62．y???2y??2y?0的通解为e?x(C1cosx?C2sinx)______ xyz?e3．已知函数，则在点(1,2)处的全微分dz?2e2dx?e2dy

4．设f(5)?2，?f(x)dx?3，则?xf?(x)dx?7 00555．变换二重积分积分次序?dx?011?x0f(x,y)dy??10dy?1?y0f(x,y)dx

三、综合计算（共36分）

?2z1．（8分）已知z?f(xy,xy)，求

?x?y22解：zx?2xyf1??y2f2?

???2xyf12??)]?2yf2??y2(x2f21???2xyf22??) zxy?2x[f1??y(x2f11 2．（6分）?(1?sin3x)dx

0?解：?(1?sinx)dx????sinxd(cosx)????(1?cos2x)d(cosx)

30??2?0014???(cosx?cos3x)???

3303．（8分）计算二重积分??ex?ydxdy，其中D是由x?y?1,x?y?1,x?0围成。

D?解：如图

积分区域D:0?x?1, x?1?y?1?x

x?y?1yo故

11?x1x??eDx?ydxdyx?y?11??exdx?eydy??(e?e2x?1)dx?(e?e?1) 0x?10228

4．（8分）计算??(x?x2?y2)dxdy，其中D是由圆周x2?y2?4及坐标轴所围成的在

D第一象限内的闭区域。

?222解：??(x?x?y)dxdy??2d??(rcos??r2)?rdr

00D8??2(cos??4)d?03

8??2?3?5．（6分）求微分方程y??2xy?4x的通解

解：方法一：方程化为y??2x(2?y)可知是可分离变量方程

dy?2xdx 2?y2y??2x(2?y)?两边积分得：?ln2?y?x2?C?2?y?C1e?x

方法二：该方程又是一阶线性微分方程，P(x)?2x,Q(x)?4x代入公式

222?2xdx2xdxy?e?(?4xe?dx?C)?e?x(2?exdx2?C)?2?Ce?x

四、（10分）曲线y?x3与直线x?2、y?0围成平面平面图形D，求

（1）图形D的面积；（2）图形D绕x轴旋转一周所得的旋转体体积。 解：如图

y

y?x3SD??x3dx?4

02V???x6dx?02128? 7o2x

五、求幂级数

?nxn?1?n?1n(?1)n?1的收敛域、和函数，并求级数?的和（8分） n?13n?1?29

(n?1)xn?2解：（1）由于lim?x，所以当x?1时，幂级数收敛，当x?1时，幂级数发散 n?1n??nx又当x?1，幂级数发散，故收敛域为x?1

（2）

?nxn?1?n?1?x2?nxn?1n?1??xx2??2n2n2?x?(x)??x(?x)??x?（?1?x?1） ??21?x(1?x)??n?1n?1?????n(?1)n?1n(?1)n?111n?1（3）当x??时，?nx=?，故?= n?1n?131633n?1n?1n?1六、（8分）某工厂生产两种产品A与B，单位产品售价分别为10元和9元，生产x单位产品A与生产y单位的产品B的总费用是

C(x,y)?0.01(3x2?xy?3y2)?2x?3y?400

求取得最大利润时两种产品的产量。

解：L?10x?9y?0.01(3x2?xy?3y2)?2x?3y?400

?Lx?10?0.06x?0.01y?2?0?x?120 ???L?9?0.06y?0.01x?3?0y?80??y所以当产品A产量为120与产品B的产量为80时利润最大

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