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高数C下整理

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上海海洋大学试卷标准答案

学年学期 课程名称 课程号 题号 分数 阅卷人 一 2008 ~ 20 09 学年第2学期 高等数学C(二) 1101406 二 三 四 学分 五 六 4 七 考核方式 A/B卷 学时 八 九 闭卷 ( A )卷 64 十 总分 姓名:学号:专业班名:

一、[3??10?30] 选择:将您认为正确的答案代号填入下列表格内。

1 B 2 A 3 D 4 C 5 A 6 C 7 C 8 C 9 C 10 B /1、设f(0)?1,f(2)?3,f/(2)?5,则

?20xf//(x)dx的值为( )

A)12 B)8 C)7 D)6 2、设定积分I1??lnxdx,I1e2??ln2xdx,则()

1e A)I2?I1 B)I2?2I1 C)I2?2I1 D)I2?I1 3、定积分

?10exdx的值为( )

11A)e B) C)e2 D)2

24、由y?e,y?e,x?1所围成的平面图形的面积是( ) A)e?x?x1111 B)e? C)e??2 D)e??2

eeee5、曲边梯形0?x?f(y),0?a?y?b绕y轴旋转所形成的旋转体的体积为( ) A)

??fab2(y)dy B)??f(y)dy C)??yf(y)dy D)?2?yf(y)dy

aabbba1?x?y)的定义域为() 6、函数z?ln(A)(x,y)x?1,y?1; B)(x,y)x?y?1????;

1

C)(x,y)x?y?1; D)在xOy平面上处处无定义。 7、二元函数 z?f(x,y) 在点(x0,y0)处可导与可微的关系为( )

A)可导必可微; B)可导一定不可微; C)可微必可导; D)可微不一定可导 8、

222( ) 其中 dxdy?D:x?y?a????DA)a2 B)? C)? a2 D)不能求

(?1)n?19、级数?当( ) pnn?1?A)p?1时条件收敛 B)0?p?1 时绝对收敛 C)0?p?1 时条件收敛 D)0?p?1 时发散

10、求方程yy/?(y/)2?0的通解时,可令()

A)y/?p,则y//?p/ B)y/?p,则y?p//dp dyC)y?p,则y///?pdp///dp/ D)y?p,则y?p dxdy二、[3??6?18?] 填空: 1、函数f(x,y)?xyxxyf(1,)?,则; 2222yx?yx?y2、

limx?1y?0ln(x?ey)x?y22?ln2;

3、设u?ln(3x?2y?z),则du?3dx?2dy?dz;

3x?2y?z1e4、交换积分秩序:

?e1dx?lnx0f(x,y)dy=?dy?yf(x,y)dx;

0e5、若级数

?un?1/?n收敛,则

?(un?1?n?un)绝对收敛(填绝对收敛、条件收敛或发散)

x6、y?2y?y?0的通解为y?(C1?C2x)e;

//2

三、[8/?5?40/]计算:

1、设z?u2lnv,而u?x?z?z,v?3x?2y,求,; y?x?y?z?z?u?z?v1u22x3x2解:(4分) ???2ulnv??3?2ln(3x?2y)?2?x?u?x?v?xyvyy(3x?2y)?z?z?u?z?vxu22x22x2(8分) ???2ulnv(?2)??(?2)??3ln(3x?2y)?2?y?u?y?v?yyvyy(3x?2y)?2z2、z?f(x?y,e),其中f具有连续二阶偏导数,求2 ;

?x22xy解:设u?x2?y2,v?e,z?f(u,v)

xy?z?z?u?z?v???2xf1??yexyf2?(3分) ?x?u?x?v?x?2z??z?()?(2xf1??yexyf2?) 因此2??x?x?x?x?2f1??2x?f1?2xy?f??yef2??yexy2(4分) ?x?x而

?f1??f1??u?f1??v???yexyf12?? ???2xf11?x?u?x?v?x?f2??f2??u?f2??v???yexyf22??(7分) ???2xf21?x?u?x?v?x??f?2xy?2zxy?f2所以2??2f1??2x1?yef2??ye

?x?x?x???yexyf12??)?y2exyf2??yexy(2xf21???yexyf22??) ?2f1??2x(2xf11???4xyexyf12???y2exyf2??y2e2xyf22??(8分) ?2f1??4x2f113、

2D,是由,y?x?2所围成的闭区域; (x?y)dxdyx?y??D3

解:

2y?22?1?y?22(x?y)dxdy?dy(x?y)dx?x?xydy(5分) ?????2??1y2?1?2??yD31??(y2?4y?2?y4?y3)dy ?1222?9.45(8分)

4、

222(x?y)dxdy,D是由y???3x,y?x,x2?y2?1及x2?y2?4D3(x?0,y?0)所围成的闭区域;

??解:令x?rcos?,y?rsin?,则积分区域D可表示为???????64(2分)?1?r?2?所以,

??(x2?y2)2dxdy??4d?24??rrdr(6分) D61?(???46)??1?6?2?6r??1 ?63?772?8?(8分) 5、求微分方程y???y??x的通解; 解:令y/?p,则y//?p/, 原方程化为:p/?p?x(2分)

因为p?e???1dx(?xe??1dxdx?C1)

?ex(?xe?xdx?C1)

??x?1?C1ex(6分)

从而y??(?x?1?Cxx2?x?Cx1e)dx??21e?C2,即为所求通解。(8分) 4

四、[12?]讨论下列级数的收敛性,若收敛指出绝对收敛还是条件收敛。

(?1)n?1 1、?

ln(1?n)n?1?解:因为

?n?1??(?1)n?11 ??ln(1?n)n?1ln(1?n)1nln(1?n)而lim?lim??(1分)

1n??n??ln(1?n)n?11而级数?是发散的,因此?也发散。(3分)

n?1ln(1?n)n?1n?(?1)n?1又因为对于交错级数?来说

ln(1?n)n?1?满足:

11?,即un?un?1

ln(1?n)ln(1?n?1)1?0,即limun?0(5分) limn??ln(1?n)n???(?1)n?1(?1)n?1根据莱布尼茨定理,交错级数?收敛,因此?条件收敛。(6分)

1?n)1?n)n?1ln(n?1ln(?(?1)n1n2 2、?(1?) nn2n?1?因为

?n?1??(?1)n1n211n2(1分) (1?)?(1?),?n2nn2nn?1而

limn??n?11n211n211ne(1?)?lim(1?)??1(5分)因此绝对值级数?n(1?)n2nn2n2n??n?12(?1)n1n2(1?)发散。发散,又为根值判别法,因此原级数?(6分) nnn?12?

5

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