历年浙江数学高考真题理科05-12 - 图文(8)

1591317157 C17?C17?C17?C17?C17?2?2，

???

由以上等式推测到一个一般的结论：

1594n?1对于n?N*，C4?C4n?1?C4n?1???C4n?1? ． n?124n?1???1?2n2n?1

n【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有??1?，二项指

1数

5分

9别为

24n?14n?1n?,2，

n因

2n?1此对于

n?N*，

C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?24n?1???1?2

16．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分

站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）． 336 【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有A73种；若有一个台阶有2人，另一个

12是1人，则共有C3A7种，因此共有不同的站法种数是336种．

17．如图，在长方形ABCD中，AB?2，BC?1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除

外）上一动点．现将?AFD沿AF折起，使平面ABD?平面ABC．在平面ABD内过点D

作DK?AB，K为垂足．设AK?t，则t的取值范围是 ．

?1??,1? 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，t?1，?2?随着F点到C点时，因CB?AB,CB?DK,?CB?平面ADB，即有CB?BD，对于CD?2,BC?1,?BD?3，又AD?1,AB?2，因此有AD?BD，则有t?12，因此t的取值范围是??1?,1? ?2?三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos?，

25???????? AB?AC?3． （I）求?ABC的面积； （II）若b?c?6，求a的值．

????????34A252A?1?,sinA?，又由AB?AC?3，解析：（I）因为cos?，?cosA?2cos25255A252（II）对于bc?5，又b?c?6，?b?5,c?1或b?1,c?5，由余弦定理得

222?a?25 a?b?c?2bccosA?20，

得bccosA?3,?bc?5，?S?ABC?1bcsinA?2

36

19．（本题满分14分）在1,2,3,?,9这9个自然数中，任取3个数．

（I）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；

（II）设?为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的

数

．求随机变量?的分布列及其数学期望E?． 1,2和2,3，此时?的值是2）

解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则P(A)?（II）随机变量?的取值为0,1,2,?的分布列为

0 1 ?

P

512C4C5C9312?1021；

2

1122

512?1?1?2?121

所以?的数学期望为E??0?212320．（本题满分15分）如图，平面PAC?平面ABC，?ABC

是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA， PB，AC的中点，AC?16，PA?PC?10． （I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE； （II）证明：在?ABO内存在一点M，使FM?平面

BOE，并求点M到OA，OB的距离．

?

证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系O?xyz， z轴，

则O?0,0,0?,A(0,?8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,?4,3),F?4,0,3?，由题意得，

????????G?0,4,0?,因OB?(8,0,0),OE?(0,?4,3)，因此平面BOE ??????????的法向量为n?(0,3,4)，FG?(?4,4,?3得n?FG?0，

z 又直线FG不在平面BOE内，因此有FG//平面BOE （II）设点M的坐标为?x0,y0,0?，则?????FM?(x0?4,y0,?3)，因为FM?平面BOE，所以有??????9FM//n，因此有x0?4,y0??，即点M的坐标为

4y x 9??4,?,0?，在平面直角坐标系xoy中，?AOB的内部区?4???x?0?域满足不等式组?y?0，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在?ABO内存

?x?y?8?在一点M，使FM?平面BOE，由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为4,21．（本题满分15分）已知椭圆C1：

y2294．

ab点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．

?x22?1(a?b?0)的右顶

（I）求椭圆C1的方程；

（II）设点P在抛物线C2：y?x?h(h?R)上，C2在点P处

的切线与C1交于点M,N．当线段AP的中点与MN的中

37

2

点的横坐标相等时，求h的最小值．

?b?12?a?2y?2解析：（I）由题意得?b2?x?1， ,??,所求的椭圆方程为

4?1?b?1?2?a?2（II）不妨设M(x1,y1),N(x,y),P(t,?t22则h),抛物线C2在点P处的切线斜率为

222y?x?t2?2t，直线MN的方程为y?2tx?2t?h，将上式代入椭圆C1的方程中，得

22，即4?1?t4x?(2tx?t?h)?4?02?x2?4t(t?h)x?(t?h)?4?0，因为直线MN

422与椭圆C1有两个不同的交点，所以有?1?16?， ?t?2(h?2)t?h?4????0设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3?设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4?x1?x22t?12?t(t?h)2(1?t)22，

，由题意得x3?x4，即有t2?(1?h)t?1?0，

其中的?2?(1?h)2?4?0,?h?1或h??3；

422?当h??3时有h?2?0,4?h2?0，因此不等式?1?16?不??t?2(h?2)t?h?4??0成立；

因此h?1，当h?1时代入方程t2?(1?h)t?1?0得t??1，将h?1,t??1代入不等式

422成立，因此h的最小值为1． ?1?16??t?2(h?2)t?h?4????022．（本题满分14分）已知函数f(x)?x3?(k2?k?1)x2?5x?2，g(x)?k2x2?kx?1， 其中k?R．

（I）设函数p(x)?f(x)?g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围； ．．． （II）设函数q(x)???g(x),x?0,?f(x),x?0. 是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一

的非零实数x2（x2?x1），使得q?(x2)?q?(x1)成立？若存在，求k的值；若不

存

在，请说明理由．

解析：（I）因P(x)?f(x)?g(x)?x?(k?1)x?(k?5)?1，

p??x??3x?2(k?1)x?(k?5)，因p(x)在区间(0,3)上不单调，所以p??x??0在?0,3?．．．．

22上有实数解，且无重根，由p??x??0得k(2x?1)??(3x?2x?5),

32?k??(3x?2x?5)2x?19t2??3?910?2x?1??，令t?2x?1,有t??1,7?，记????4?2x?13?h(t)?t?,则h?t?在?1,3?上单调递减，在?3,7?上单调递增，所以有h?t???6,10?，于92x?1??6,10?，得k???5,?2?，而当k??2时有p??x??0在?0,3?上有两

是?2x?1??个相等的实根x?1，故舍去，所以k???5,?2?；

22（II）当x?0时有q??x??f??x??3x?2(k?k?1)x?5；

2当x?0时有q??x??g??x??2kx?k，因为当k?0时不合题意，因此k?0，

下面讨论k?0的情形，记A?(k,??)，B=?5,???（ⅰ）当x1?0时，q??x?在?0,???上

38

单调递增，所以要使q??x2??q??x1?成立，只能x2?0且A?B，因此有k?5，（ⅱ）当

x1?0时，q??x?在?0,???上单调递减，所以要使q??x2??q??x1?成立，只能x2?0且

（ⅱ）k?5； A?B，因此k?5，综合（ⅰ）

当k?5时A=B，则?x1?0,q??x1??B?A，即?x2?0,使得q??x2??q??x1?成立，因为q??x?在?0,???上单调递增，所以x2的值是唯一的；

同理，?x1?0，即存在唯一的非零实数x2(x2?x1)，要使q??x2??q??x1?成立，所以k?5满足题意．

2010年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题

纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 柱体的体积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) V?Sh

h表示柱体的高 如果事件A、B相互独立，那么 其中S表示柱体的底面积，

P(A·B)=P(A)·P(B) 锥体的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n V?13Sh

h表示锥体的高 次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中S表示锥体的底面积，Pn(k)?CnP(1?P)kkn?k(k?0,1,2,?,n) 球的表面积公式

2台体的体积公式 S?4?R

V?13h(S1?S1S2?S2) 球的体积公式

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其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积 V?433?R

h表示台体的高 其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

（1）设P?{x|x?4},Q?{x|x2?4}

（A）P?Q （D）Q?CRP

（B）Q?P

（C）P?CRQ（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为

（A）k?4? （C）k?6?

（B）k?5? （D）k?7?

S5S2?

（3）设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2?a5?0，则

（A）11 （C）-8

?2（B）5 （D）-11 ，则“xsin2（4）设0?x?x?1”

是“xsinx?1”的

（A）充分而不必不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（5）对任意复数z?x?yi(x,y?R),i为虚数单位，则下列结论正确的是

（A）|z?z|?2y （B）z?x?y （C）|z?z|?2x （D）|z|?|x|?|y|

222（6）设l,m是两条不同的直线，?是一个平面，则下列命题正确的是

（A）若l?m,m??,则l?? （C）若l//?,m??,则l//m

（B）若l??,l//m,则m?? （D）若l//?,m//?,则l//m

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