历年浙江数学高考真题理科05-12 - 图文(4)

在如图所示的几何体中，EA?平面ABC，DB?平面ABC，AC?BC，AC?BC?BD?2AE，M是AB的中点．

D（1）求证：CM?EM；

（2）求CM与平面CDE所成的角．

E

20．（本题14分）

如图，直线y?kx?b与椭圆两点，记?ABO的面积为S ．

（1）求在k?0，0?b?1的条件下，S的最大值； （2）当|AB|?2,S?1时，求直线AB的方程． 21．（本题15分）

a2k是关于x的方程已知数列{an}中的相邻两项a2k?1、

OBAx24?y?1交于A、B

2AMByCxx?(3k?2)x?3k?2?0a2k??1ak(k?21?, 2,2kk的

3两

,个

)根，且

（1）求a1,a3,a5,a7；

（2）求数列{an}的前2n项的和S2n；

(?1)1|sinn|?3)，Tn?（3）记f(n)?(2sinna1a2f(2)?(?1)f(3)a3a4?(?1)f(4)a5a6???(?1)f(n?1)a2n?1a2n，

求证：

16?Tn?524(n?N)．

*22．（本题15分）

设f(x)?x323，对任意实数t，记gt(x)?t3x?23t．

（1）求函数y?f(x)?g8(x)的单调区间； （2）求证：

（ⅰ）当x?0时，f(x)?gt(x)对任意正实数t成立；

（ⅱ）有且仅有一个正实数x0，使得g8(x0)?gt(x0)对于任意正实数t成立．

2007年浙江理科试题参考答案

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

1．A 2．D 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D 9．B

10．C

16

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． 11．1

12．一

725 13．︱x︱0

59

16．900 17．o?m?43

三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．本题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．满分14分．

解：（1）由题意及正弦定理，得

AB+BC+AC＝BC+AC＝AB＝1．

（2）由△ABC的面积＝，

3 由余弦定理，得

cosC?AC?BC?AB2AC?BC22222＋1,

2AB，

两式相减，得

1216BC·AC·sinC＝sin C，得

BC·AC＝

1

=

(AC?BC)?2AC?BC?AB2AC?BC0

2?12

所以C＝60．

19．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理能力．满分14分． 方法一：

（1）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CM⊥AB．

又EA ⊥平面ABC，所以CM⊥EM． （2）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连结CH并延长交ED于点F，连结MF、MD，∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．

因为MH⊥平面CDE，所以MH⊥ED， 又因为CM⊥平面EDM，所以CM⊥ED， 则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．

设EA＝a，BD＝BC＝AC＝2a，

在直角梯形ABDE中，AB＝2

中点，

2a，M是AB的

17

所以DE＝3a，EM＝3a，MD＝6 a， 得△EMD是直角三角形，其中∠EMD＝90° 所以MF＝

EM?MDDE?2a．

在Rt△CMF中，tan∠FCM=

MFMC=1，所以∠FCM=45°，

故CM与平面CDE所成的角是45°．

方法二：

如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别作为x轴和y轴，

过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，则 A（2a，0，0）， B（0，2a，0）， C（2 a，0，a），

A（0，2 a，2 a）， A（a，a，0）.

???????（1）证明：因为EM=（-a，a，-a），CM=（a，a，0），

???????

所以 EM·CM=0，

故EM?CM.

（2）解：设向量n=（1，yo，x0）与平面CDE垂直，

????????????则n?CE，n?CD， 即n·CE =0，n·CD=0.

??????因为CE=（2a,0,a）, CD=(0,2a,2a),

所以y0=2，z0=-2， 即n=（1，2，-2），

??????CM?ncos?n,CM?????M?n22，

直线CM与平面CDE所称的角是45°.

20．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．

（1）解：设点A的坐标为（(x1,b)，点B的坐标为(x2,b)，

x22?y?1，解得x1,2??21?b 由

24所以S?12b|x1?x2|?2b1?b?b?1?b?1

22218

当且仅当b?22时，S取到最大值1．

?y?kx?b1?（2）解：由?x2得(k2?)x2?2kbx?b2?1?0

24?y?1??4??16(4k?b?1) ①

16(4k?b?1)4k?122222｜AB｜＝1?k|x1?x2|?21?k2?2 ②

又因为O到AB的距离d?|b|1?k2?2S|AB|?1 所以b?k?1 ③

22③代入②并整理，得4k4?4k2?1?0

2解得，k?12,b?232，代入①式检验，△＞0

故直线AB的方程是

y?22x?62或y?22x?62或y??22x?62或y??22x?62．

21．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．

k（1）解：方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0的两个根为x1?3k, x2?2．

当k＝1时，x1?3,x2?2，所以a1?2； 当k＝2时，x1?6,x2?4，所以a3?4； 当k＝3时，x1?9,x2?8，所以a5?8； 当k＝4时，x1?12,x2?16，所以a7?12；

2n（2）S2n?a1?a2???a2n?(3?6???3n)?(2?2???2)＝

1a1a21a3a41a5a6(?1)f(n?1)3n?3n22?2n?1?2．

（3）Tn??????a2n?1a2n，

所以T1?1a1a2?16，T2?1a1a2?1a3a4?524，

当n≥3时，

19

Tn?(?1)f(2)a1a2?(?1)f(3)a3a4?(?1)f(4)a5a6???(?1)f(n?1)a2n?1a2n

?1616?1a3a416?2n?(1a5a616???1a2n?1a2n)?16?16?22?162(13??12n)

???

(?1)f(n?1)Tn?524?1a5a6???a2n?1a2n

?524524?1a5a619?2n?(1a7a8524???1a2n?1a2n)?524?19?23?192(14???12n)

???

16?Tn?524综上，当n?N*时，

．

22．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所解决问题的能力．满分15分． 解：（1）由y?x33?4x?163，得y??x2?4?0，x??2

因为当x?（－∞，－2）时，y??0， 当x?（－2，2）时，y?＜0 当x?（2，+?）时，y??0

故所求函数的单调递增区间是（－∞，－2），（2，+∞），单调递减区间是（－2，2）． （2）证明：

（ⅰ）方法一：

令h(x)?f(x)?gt(x)＝?22x323?t3x?232t (x?0)，则h?(x)?x?t3．

12当t＞0时，由h?(x)?x?t3＝0得x?t3

1当x?(0,t3)时，h?(x)＜0，

1当x?(t3,??)时，h?(x)＞0，

1故h(x)在（0，＋?）内的最小值是h(t3)?0． 故当x?0时，f(x)?gt(x)对任意正实数t成立．

20

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