第二章 圆锥曲线与方程 导学案

中山市东升高中 高二数学◆选修1-1&2-1◆导学案 编写：李八江 校审：李志敏

§2.1.1 曲线与方程（1）

学习目标 1．理解曲线的方程、方程的曲线；

2．求曲线的方程． 学习过程 一、课前准备

（预习教材理P34~ P36，找出疑惑之处）

复习1：画出函数y?2x2 (?1?x?2)的图象．

复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．

试试：

21．点P则a=___ ． ,1()a在曲线x?2xy?5y?0上，

2．曲线x?2xy?by?0上有点Q(1,2，)则b= ．

新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．

※ 典型例题

例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k?0)的点的轨迹方程式是xy??k．

变式：到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y?5?0吗？

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：

到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写

出它的方程．

例2设A,B两点的坐标分别是(?1,?1)，(3,7)，求

线段AB的垂直平分线的方程．

问题：能否写成y?x，为什么？

新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内 的一条曲线C与一个二元方程F(x,y)?0之间，

如果具有以下两个关系：

1．曲线C上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程F(x,y)?0的解为坐标的点，都是

的点，

那么，方程F(x,y)?0叫做这条曲线C的方程； 变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是

C曲线叫做这个方程F(x,y)?0的曲线． A(0,3)，B(?2,0)，C(2,0)．中线AO（O为原点）

所在直线的方程是x?0吗？为什么？ 注意：1? 如果??，那么??；

2? “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，

相对不同角度的两种说法；

4? 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标

反思：BC边的中线的方程是x?0吗？ 平面建立的．

1 2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第二章 圆锥曲线与方程 小结：求曲线的方程的步骤： ①建立适当的坐标系，用M(x,y)表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P的点M的集合P?{M|p(M)}； ③用坐标表示条件P，列出方程f(x,y)?0； ④将方程f(x,y)?0化为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． ※ 动手试试 练1．下列方程的曲线分别是什么？ (1) y?x2 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 与曲线y?x相同的曲线方程是（ ）． A．y?x2x B．y?x22 C．y?3x3 D．y?2logx 2．直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(?1,3)，若????点C满足OCx (2) y?x?2x?2x2 (3) y?alogx a，其中?，??R，?+?=1， 则点C的轨迹为 ( ) ． ????????=?OA+?OB 练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？ A．射线 B．直线 C．圆 D．线段 3．A(1,0)，B(0,1)，线段AB的方程是（ ）． A．x?y?1?0 B．x?y?1?0(0?x?1) C．x?y?1?0 D．x?y?1?0(0?x?1) 4．已知方程ax2?by2?2的曲线经过点A(0,)和点35B(1,1)，则a= ，b= ． 5．已知两定点A(?1,0)，B(2,0)，动点p满足PAPB?12，则点p的轨迹方程是 ． 课后作业 1． 点A(1,?2)，B(2,?3)，C(3,10)是否在方程 x?xy?2y?1?0表示的曲线上？为什么？ 2 三、总结提升 ※ 学习小结 1．曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程的步骤： 2 求和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方差为常数c的①建系，设点； 点的轨迹方程． ②写出点的集合； ③列出方程； ④化简方程； ⑤验证． ※ 知识拓展 求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定 系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．

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§2.1.2 曲线与方程（2）

※ 典型例题

例1 有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于

这点到A(0,3)的距离的2倍，试求曲线的方程．

变式：现有一曲线在x轴的下方，曲线上的每一点到x轴的距离减去这点到点A(0,2)，的距离的差是

2 学习目标 1. 求曲线的方程；

2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质． 学习过程 一、课前准备

（预习教材理P36~ P37，找出疑惑之处） 复习1：已知曲线C的方程为 y?2x2 ，曲线C上有点A(1,2)，A的坐标是不是y?2x2 的解？点(0.5,t)在曲线C上,则t=___ ．

复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程f(x,y)?0之间有哪些关系?

，求曲线的方程．

二、新课导学 ※ 学习探究

引入：

圆心C的坐标为(6,0)，半径为r?4，求此圆的方程．

问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．

探究：若AB?4，如何建立坐标系求AB的垂直平分线的方程．

3

小结：点P(a,b)到x轴的距离是 ；

点P(a,b)到y轴的距离是 ； 点P(1,b)到直线x?y?1?0的距离是 ．

例2已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2，一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．

2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第二章 圆锥曲线与方程 ※ 动手试试

练1． 有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到直线x?y?1?0的距离的2倍，试求曲线的方程．

练2. 曲线上的任意一点到A(?3,0),B(3,0)两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．方程(3x?4y?12)?log2(x?2y)?3??0的曲线经过点A(0,?3)，B(0,4)，C(4,0)，D(,?)中的

3457（ ）.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知A(1,0)，B(?1,0)，动点满足

MA?MB?2,则点M的轨迹方程是（ ）.

A．y?0(?1?x?1) B．y?0(x?1) C．y?0(x??1) D．y?0(x?1)

3．曲线y??1?x2与曲线y?x?0的交点个数一定是（ ）．

3个 A．0个 B．2个 C．4个 D．??4．若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP?OA?4,则点P的轨迹方程是 ．

5．由方程x?1?y?1?1确定的曲线所围成的图形的面积是 ． 课后作业 1．以O为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？ 2．已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与

设点M是线段AB的中点，求点My轴交于点B．的轨迹方程．

4

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 求曲线的方程；

2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．

※ 知识拓展

圆锥曲线的统一定义：

到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的点的轨迹是圆锥曲线． 0?e?1：椭圆； e?1： 抛物线； e?1： 双曲线．

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§2.2.1椭圆及其标准方程(1) ②看是否满足常数2a?F1F2． 新知２：焦点在x轴上的椭圆的标准方程 x22 学习目标 1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． a?yb22222?1?a?b?0? 其中b?a?c 若焦点在y轴上，两个焦点坐标 ， 则椭圆的标准方程是 ． 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 一、课前准备 ⑴a?4,b?1，焦点在x轴上； （预习教材理P38~ P40，文P32~ P34找出疑惑之处） ⑵a?4,c?15，焦点在y轴上； 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ． ⑶a?b?10,c?25． 复习2：方程(x?3)2?(y?1)2?4 表示以 为圆 心, 为半径的 ． 二、新课导学 ※ 学习探究 取一条定长的细绳， 把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上 铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹 是一个 ． 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在 图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖， P画出的轨迹是什么曲线？ F1F2思考：移动的笔尖（动点） 满足的几何条件是什么？ 2xy 变式：方程??1表示焦点在x轴上的椭圆，4m经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等则实数m的范围 ． 于常数． 新知１： 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离 学习过程 ※ 典型例题 之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆， 222这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做小结：椭圆标准方程中：a?b?c ；a?b ． 椭圆的焦距 ． 例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是??2,0?， 反思：若将常数记为2a，为什么2a?F1F2？ 3??5(2,0)，并且经过点?,??，求它的标准方程 ． 当2a?F1F2时，其轨迹为 ； 2??2 当2a?F1F2时，其轨迹为 ． 试试： 已知F1(?4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距 离之和等于8的点的轨迹是 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点： ①分清动点和定点； 5

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