高等代数（北大版第三版）习题答案I(8)

n?n?1?220?130??n?10n00?0??n?1? 原式=

0?002?00?2?0???0???n?2?0?n?1

=??1?18.证明：

a01 1）1?11a10?0n?11?n?1? 。 21?10n?1a?0?a1a2?an??0?ai?1i????? 。 ?0?a2??0??anx?10 2）

?000x00??000?xa0a1a2?an?2?xn?an?1xn?1??a1x?a0。

?1x????0000???1x?an?10?000?1000?1000????10?00cos?10?0012cos?1?00?????1?0001?00 3）

????????00???????n?1??n?1? 。

????????????000?1?cos? 。

4）

2cos???2cos?2cos?1?a11 5）

11?a21?1111??111?1111?11?an1加到第1行，得 ai?1n?1?a1a2?an?1???ai?1i?1?111?a3???11???? 。 ??1?an?1 证明：4）分别将第i(i?2,?,n?1)行乘以-

a0??i?1n 左边=

11?11ai0a10?0n00??000?a2???0

?an =a1a2?an(a0??i?11) = 右边。 ai 4）从最后一行起，分别将每一行都乘以x后加到其前一行，得

000?000?xn?an?1xn?1???a1x?a0xn?1?an?1xn?2???a2x?a1xn?2?an?1xn?3???a3x?a2?x2?an?1x?an?2x?an?1

左边=

?100?0?10??00?00??0?00??1?1???1?n?1?x?n?an?1xn?1???a1x?a0???1??1n?1

???1?n?1xn?an?1xn?1???a1x?a0??1?n?1?xn?an?1xn?1???a1x?a0 =右边。

4）将所给行列式记为Dn，按第1列展开得

Dn??????Dn?1???Dn?2，

即Dn??Dn?1???Dn?1??Dn?2?， 此式对一切n都成立.故递推得

Dn??Dn?1??2?Dn?2??Dn?3? ??3?Dn?3??Dn?4?????n?2?D2??D1?，

??n?2?????????????????n2?? 在Dn中?,?的地位是一样的，故同理可得 Dn??Dn?1??n， 所以 ?????Dn??n，

?n?1??n?1 从而 Dn?=右边。

???cos?11?2cos2??1?cos2?， 此时结论

2cos?4）对2阶行列式，有D2?成立。

假设对阶数小于n的行列式结论皆成立，则对n阶行列式Dn按最后一行展

开，得Dn?2cos?Dn?1?Dn?2，因为

Dn?2?cos?n?2??

?cos??n?1??????cos?n?1??cos??sin?n?1??sin?，

代入Dn可得

Dn?2cos?cos?n?1???cos?n?1??cos??sin?n?1??sin? ?cos?n?1??cos??sin?n?1??sin?

?cos??n?1??????cosn? 故对一切n结论成立，即证。

10?0111?1111??111?1111?11?an

01?a14）左边=

1?a2???11??1?an?11?1 =

??1?110?0010??100?0100??0an?1a11??i?1na2???00?00?01ai1a10?010??100?

?an?1a2???0?ann?1 =a1a2?an?1???ai?1i????=右边。 ? 19．用克拉默法则解下列方程：

?2x1?x2?3x3?2x4?6?x1?2x2?3x3?2x4?6?3x?3x?3x?2x?5?2x?x?2x?3x?8?1?1234234 1）? 2）?

3x?x?x?2x?33x?2x?x?2x?4234234?1?1???3x1?x2?3x3?x4?4?2x1?3x2?2x3?x4??8?x1?2x2?2x3?4x4?x5??1?5x1?6x2?1?2x?x?3x?4x?2x?8?x?5x?6x?012345123???? 3）?3x1?x2?x3?2x4?2x5??24）?x2?5x3?6x4?0

?4x?3x?4x?2x?2x??2?x?5x?6x?01234545??3???x1?x2?x3?2x4?3x5??3?x4?5x5?1 解：1）d??70,d1??70,d2??70,d3??70,d4??70 。

所以方程组有唯一解：

dd1dd?1,x2?2?1,x3?3?1,x4?4?1 。 dddd x1? 2）d?324,d1?324,d2?648,d3??324,d4??648 。 所以方程组有唯一解：

dd1dd?1,x2?2?2,x3?3?1,x4?4??2 。 dddd x1? 3）d?24,d1?96,d2??336,d3??96,d4?168,d5?312 。 所以方程组有唯一解：

ddd1dd?4,x2?2??14,x3?3??4,x4?4?7,x5?5?13 。 ddddd x1? 4）d?665,d1?1507,d2??1145,d3?703,d4??395,d5?212 . 所以方程组有唯一解： x1?15072293779212,x2??,x3?,x4??,x5?。 66513335133665 20．设a1,a2,?,an是数域P中互不相同的数，b1,b2,?,bn是数域 P中任一组给定的数，用克拉默法则证明：有唯一的数域P上 的多项式f?x??c0?c1x?c2x2???cn?1xn?1 使 f?ai??bi ?i?1,2,?,n?。 证明：由f?ai??bi得

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