高等代数（北大版第三版）习题答案I(2)

证 由上题证明类似可得结论。

12．证明：如果(f(x),g(x))?1,(f(x),h(x))?1，那么(f(x),g(x)h(x))?1。 证 由假设，存在u1(x),v1(x)及u2(x),v2(x)使

u1(x)f(x)?v1(x)g(x)?1 （1） u2(x)f(x)?v2(x)h(x)?1 （2）

将（1）（2）两式相乘，得

[u1(x)u2(x)f(x)?v1(x)u2(x)g(x)?u1(x)v2(x)h(x)]f(x)?[v1(x)v2(x)]g(x)h(x)?1所以(f(x),g(x)h(x))?1。

13．设f1(x),...,fm(x),g1(x),...,gn(x)都是多项式，而且

，

m,j?;(fi(x),gj(x))?1 (i?1,2,...1,n2, .。

求证：(f1(x)f2(x)...fm(x),g1(x)g2(x)...gn(x))?1。 证 由于

(f1(x),g1(x))?1(f1(x),g2(x))?1..........................(f1(x),gn(x))?1反复应用第12题结论，可得

，

(f1(x),g1(x)g2(x)...gn(x))?1，

同理可证

(f2(x),g1(x)g2(x)...gn(x))?1................................................，

(fm(x),g1(x)g2(x)...gn(x))?1从而可得

(f1(x)f2(x)...fm(x),g1(x)g2(x)...gn(x))?1。

14．证明：如果(f(x),g(x))?1，那么(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1。

证 由题设知(f(x),g(x))?1，所以存在u(x),v(x)使u(x)f(x)?v(x)g(x)?1， 从而u(x)f(x)?v(x)f(x)?v(x)f(x)?v(x)g(x)?1，

即[u(x)?v(x)]f(x)?v(x)[f(x)?g(x)]?1， 所以(f(x),f(x)?g(x))?1。 同理(g(x),f(x)?g(x))?1。

再由12题结论，即证(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1。 15．求下列多项式的公共根

f(x)?x3?2x2?2x?1,g(x)?x4?x3?2x2?x?1

解 由辗转相除法，可求得(f(x),g(x))?x2?x?1，所以它们的公共根为16．判别下列多项式有无重因式：

1） f(x)?x5?5x4?7x3?2x2?4x?8； 2） f(x)?x4?4x2?4x?3； 解 1）

?1?3i。 2f?(x)?5x4?20x3?21x2?4x?4(f(x),f?(x))?(x?2)2，

所以f(x)有x?2的三重因式。

32）f?(x)?4x?8x?4，(f(x),f?(x))?1，所以f(x)无重因式。

3217．求t值，使f(x)?x?3x?tx?1有重根。 解 易知f(x)有三重根x?1时，t?3。若令

x3?3x2?tx?1?(x?a)2(x?b)，比较两端系数，得

??3??2a?b?2?t?a?2ab ?1?a2b?1，将a的三个根25分别代入（1），得b1?1,b2?1,b3?4。再将它们代入（2），得t的三个根t1?3,t2?3,t3?。

451当t1,2?3时f(x)有3重根x?1；当t3?时，f(x)有2重根x?。

4232由（1），（3）得2a?3a?1?0，解得a的三个根为a1?1,a2?1,a3?18．求多项式x?px?q有重根的条件。

3解 令f(x)?x3?px?q，则f?(x)?3x才有三重根。

2?p，显然当p?0时，只有当q?0,f(x)?x3下设p?0，且a为f(x)的重根，那么a也为f(x)与f?(x)的根，即

?a3?pa?q?0 ?2?3a?p?0由（1）可得a(a2?p)??q，再由（2）有a??2p。所以 3p?p)??q3，

3q?a??2pa(?9q2p322两边平方得，所以?a??4p?27q?0。 24p3综上所叙即知，当4p3?27q2?0时，多项式x3?px?q有重根。 19．如果(x?1)2|ax4?bx2?1 ，求a,b。

423解 令f(x)?ax?bx?1，f?(x)?4ax?2bx。由题设知，1是f(x)的根，也是f?(x)的根，此即

?a?b?1?0， ?4a?2b?0?解得a?1,b??2。

x2xn?...?20．证明：1?x?不能有重根。 2!n!证 因为f(x)的导函数f?(x)?1?x?1n121x?...?xn?1，所以f(x)?f?(x)?x，

n!2!(n?1)!于是(f(x),f?(x))?(f?(x)?1n1x,f?(x))?(xn,f?(x))?1，从而f(x)无重根。 n!n!21．如果?是f???(x)的一个k重根，证明?是

g(x)?x?a[f?(x)?f?(a)]?f(x)?f(a)]的一个k+3重根。 2证 因为

x?a1f??(x)?[f?(x)?f?(a)]22，

x?ag??(x)?f???(x)2g?(x)?由于?是f???(x)的k重根，故?是g??(x)的k?1重根。代入验算知?是g(x)的根。 现在设?是g(x)的s重根，则?是g?(x)的s?1重根，也是g??(x)的s-2重根。 所以s?2?k?1?s?k?3。得证。

22．证明：x0是f(x)的k重根的充分必要条件是f(x0)?f?(x0)?...?f(k?1)(x0)?0 ，而f(k)(x0)?0

证 必要性：设x0是f(x)的k重根,从而是f?(x)的k?1重根，是f??(x)的k?2重根，?，是f(k?2)(x0)的一重根，并且x0不是f(k)(x)的根。于是

f(x0)?f?(x0)?...?f(k?1)(x0)?0,而f(k)(x0)?0。

充分性：由f(k?1)(x0)?0，而f(k)(x0)?0，知x0是f(k?1)(x)的一重根。又由于

f(k?2)(x0)?0，知x0是f(k?2)(x)的二重根，依此类推，可知x0是f(x)的k重根。

23．举例说明段语“? 是f?(x)的m 重根，那么?是f(x)的m?1重根”是不对的。 解 例如，设f(x)?m1m?1x?1，那么f?(x)?x以0为m重根，但0不是f(x)的根。 m?124．证明：如果(x?1)|f(x)，那么(x?1)|f(x)。

nn证 要证明(x?1)|f(x)，就是要证明f(1)?0（这是因为我们可以把x看作为一个变nn量）。由题设由(x?1)|f(x)，所以f(1)?0，也就是f(1)?0，得证。

nnnn25．证明：如果(x2?x?1)|f1(x3)?xf2(x3)，那么(x?1)|f1(x),(x?1)|f2(x)。

22证 因为x?x?1的两个根为?和?，其中??cos2?2?2?isin，所以?和?也是33f1(x3)?xf2(x3)的根，且?3?1，于是

?f1(1)??f2(1)?0， ?2?f1(1)??f2(1)?0解之得f1(1)?0,f2(1)?0。得证。

26．求多项式x?1在复数范围内和在实数范围内的因式分解。

解 在复数范围内xn?1?(x?1)(x??)(x??2)...(x??n?1)，其中??cos在实数域内?j??n?j(0?j?n)，所以，当n为奇数时，有

n2?2??isin， 33x?1?(x?1)[x?(???其中???jn?jn2n?1)x?1][x?(???22n?2)x?1]...?[x?(?2n?12??n?12)x?1]

??j??j?2cos2j?n?1(j?1,2,...,)，皆为实数。 nnn?1当n是偶数时，有

x?1?(x?1)(x?1)[x?(???27．求下列多项式的有理根： 1） x?6x?15x?14； 2） 4x?7x?5x?1；

4232n2)x?1][x?(???22n?2)x?1]...?[x?(?2n?12??n?12)x?1]

3） x?x?6x?14x?11x?3。 解 利用剩余除法试根，可得 1） 有一个有理根2。 2） 有两个有理根?5432111,?（即有2重有理根?）。 2223） 有五个有理根3,?1,?1,?1,?1（即一个单有理根3和一个4重有理根?1）。 28．下列多项式在有理数域上是否可约？ 1）x?1；

2） x?8x?12x?2； 3）x?x?1；

4） x?px?1,p为奇素数； 5）x?4kx?1,k为整数。

解 1）因为?1都不是它的根，所以x?1在有理数域里不可约。 2）利用艾森斯坦判别法，取p?2，则此多项式在有理数域上不可约。 3）首先证明：

命题 设有多项式f(x)，令x?y?1或x?y?1，得

2634322p4

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