高等代数（北大版第三版）习题答案I(3)

g(y)?f(y?1)或g(y)?f(y?1)

则f(x)与g(y)或者同时可约，或者同时不可约。

事实上，若f(x)可约，即f(x)?f1(x)f2(x)，从而g(y)?f(y?1)?f1(y?1)f2(y?1)， 这就是说g(y)也可约，反之亦然。

现在我们用它来证明x?x?1在有理数域上不可约。令x?y?1，则多项式变为

63(y?1)6?(y?1)3?1?y6?6y5?15y4?21y3?18y2?9y?3

利用艾森斯坦判别法，取p?3，即证上式不可约，因而x?x?1也不可约。 4） 设f(x)?xp?px?1，令x?y?1，则g(y)?f(y?1)

1p?12p? ?yp?C?Cpypy2p??...?Cp2p?1 py2?(pC?)py?63i由于p是素数，因而p|Cp(i?1,2,...,p?1)，但p2|p，所以由艾森斯坦判别法，即证g(y)在有理数域上不可约，因而f(x)也在有理数域上不可约。 5） 已知f(x)?x4?4kx?1，令x?y?1，可得

g(y)?f(y?1)?y4?4y3?6y2?(4k?4)y?4k?2

利用艾森斯坦判别法，取p?2，即证g(y)在有理数域上不可约，因而f(x)也在有理数域上不可约。

29．用初等对称多项式表求出下列对称多项式： 1）x12x2?x1x22?x12x3?x1x32?x22x3?x2x32； 2）(x1?x2)(x1?x3)(x2?x3)； 3）(x1?x2)2(x1?x3)2(x2?x3)2；

4）x12x22?x12x32?x12x42?x22x32?x22x42?x32x42； 5)(x1x2?x3)(x2x3?x1)(x3x1?x2)；

6)(x1?x2?x1x2)(x2?x3?x2x3)(x1?x3?x1x3)。 解 1）对称多项式的首项为x1x2，其方幂为(2,1,0)，即?122?11?00?2?3??1?2，

又因为x12x2?x1x22?x12x3?x1x32?x22x3?x2x32??1?2??3x1x2x3， 所以 原式=?1?2?3?3。

2）同理可得(x1?x2)(x1?x3)(x2?x3)

?x12x2?x1x22?x12x3?x1x32?x22x3?x2x32?2x1x2x3 ??1?2?3?3?2?3??1?2??3

３）原式=(x12?2x1x2?x22)(x12?2x1x3?x32)(x22?2x2x3?x32)

?x14x22?...，

由此可知多项式时六次对称多项式，且首项为x14x22，所以?的方幂之积为 指数组 4 2 0 4 1 1 3 3 0 3 2 1 2 2 2

232原式=?12?2 (1) ?a?13?3?b?2?c?1?2?3?d?3对应?的方幂乘积 2 ?12?2?13?3 3 ?2?1?2?3 ?32 只要令x1?0,x2?x3?0,则原式左边?0。另一方面，有?1?2,?2?1,?3?0， 代入（1）式，得b??4。再令x1?x2?1,x3??2，得d??27。 令x1?x2?1,x3??1，得

?a?c?22 （2）

令x1?x2?x3?1,得

3a?c?6 （3）

由（2），（3）解得a??4,c?18。因此

232原式??12?2。 ?4?13?3?4?2?18?1?2?3?27?34）原式=x12x22?x12x32?x12x42?x22x32?x22x42?x32x42 指数组 2 2 0 0 2 1 1 0 1 1 1 1 2设原式??2?a?1?3?b?4

对应?的方幂乘积 2 ?2?1?3 ?4 令x1?x2?x3?1,x4?0,得a??2。 再令x1?x2?x3?x4?1,得b?2。

2因此原式??2?2?1?3?2?4。

1） 原式=x12x22x32?(x13x2x3?x1x23x3?x1x2x33)

?(x12x22?x22x32?x12x32)?x1x2x3，

由于x13x2x3?x1x23x3?x2x2x33??12?3?2?2?3，

2x12x22?x22x32?x12x32??2?2?1?3，

222所以原式??1?3?2?1?3??2?2?2?3??3??3。

2） 原式?x12x22x32?2(x12x22x3?x12x2x32?x1x22x33)

?(x12x22?x22x32?x12x32?3x12x2x3?3x1x22x3?3x1x2x32) ?(x12x2?x1x22?x12x3?x22x3?x1x32?x2x32)?2x1x2x3，

其中2(x12x22x3?x12x2x32?x1x22x33)?2?2?3，

2x12x22?x22x32?...?3x1x2x32??2??1?3，

x12x2?x1x22?...?x2x32??1?2??3，

22所以 原式??1?2??1?3??2?2?2?3??3??3。

30．用初等对称多项式表出下列n元对称多项式：

1）2）3）

?x41；

?xxx；

2123?xx2212；

4）；（

?xxxx

221234l1l212lnlll表示所有由ax11x22...xnn经过对换得到的项的和。） ...xn?axx4解 1）因为多项式的首项为x1，所以

指数组 4000…0 3100…0 2200…0 2110…0 1111..0 对应?的方幂乘积 ?14 ?12?2 2 ?2?1?3 ?4 2设原式??14?a?12?2?b?2?c?1?3?d?4，

令x1?1,x2??1,x3?x4?...?xn?0,得b?2。

x1?x2?1,x3?...?xn?0,得a??4。 x1?x2?x3?1,x4?...?xn?0,得c?4。

x1?x2?1,x3?x4??1,x5?...?xn?0,得d??4。

2所以原式??14?4?12?2?2?2?4?1?3?4?4。

2）同理可得原式??1?3?4?4。 3）原式??1?2?1?3?2?4。 4） 原式??2?4?4?1?5?9?6。

31．设a1,a2,a3是方程5x?6x?7x?3?0的三个根，计算

3222222(a12?a1a2?a2)(a2?a2a3?a3)(a12?a1a3?a3)

解 因为

?1?a1?a2?a3?2?a1a2?a2a3?a1a3， ?3?a1a2a3由根和系数的关系，可得?1?673,?2?,?3?， 555再将对称多项式化为初等多项式并计算，可得

2222(a12?a1a2?a2)(a2?a2a3?a3)(a12?a1a3?a3) 3??12?12??13?3??2??1679。 62532．证明：三次方程x3?a1x2?a2x?a3?0的三个根成等差数列的充分必要条件为

32a1?9a1a2?27a3?0。

证 设原方程的三个根为?1,?2,?3，则它们成等差数列的充分必要条件为

(2?1??2??3)(2?2??1??3)(2?3??1??2)?0。

将上式左端表为初等对称多项式，得

(2?1??2??3)(2?2??1??3)(2?3??1??2)?2?13?9?1?2?27?3，

3故三根成等差数列的充分必要条件为2a1?9a1a2?27a3?0。

二 、补充题及参考解答

1． 设f1(x)?af(x)?bg(x),g1(x)?cf(x)?dg(x)，且ad?bc?0，证明：

(f(x),g(x))?(f1(x),g1(x))

证 设d(x)?(f(x),g(x)),则由已知，得d(x)|f1(x),d(x)|g1(x)。

其次，设?(x)是f1(x)与g2(x)的任一公因式，只需证明?(x)|d(x)即可。 因为f1(x)?af(x)?bg(x),g1(x)?cf(x)?dg(x),所以

db?f(x)?f(x)?g1(x)1??ad?bcad?bc ?ca?g(x)?f1(x)?g1(x)?ad?bcad?bc?又因为?|f1,?|g1??|f,?|g,从而?(x)|d(x)。故d(x)也是f1(x)与g1(x)的最大

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