高等代数（北大版第三版）习题答案I

高等代数（北大*第三版）答案1

目录

第一章 多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组 第四章 矩阵 第五章 二次型 第六章 线性空间 第七章 线性变换 第八章 ?—矩阵 第九章 欧氏空间

第十章 双线性函数与辛空间

注：

答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢谢！

第一章 多项式

1． 用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)： 1）f(x)?x3?3x2?x?1,g(x)?3x2?2x?1； 2）

f(x)?x4?2x?5,g(x)?x2?x?2。

17262x?,r(x)??x?； 3999解 1）由带余除法，可得q(x)?22）同理可得q(x)?x?x?1,r(x)??5x?7。 2．m,p,q适合什么条件时，有 1）x?mx?1|x?px?q， 2）x?mx?1|x?px?q。

解 1）由假设，所得余式为0，即(p?1?m)x?(q?m)?0，

224223?p?1?m2?023所以当?时有x?mx?1|x?px?q。

?q?m?0?m(2?p?m2)?02）类似可得?，于是当m?0时，代入（2）可得p?q?1；而当2?q?1?p?m?02?p?m2?0时，代入（2）可得q?1。

综上所诉，当??m?0?q?1242 或?时，皆有x?mx?1|x?px?q。 2?p?q?1?p?m?23．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式：

1）f(x)?2x5?5x3?8x,g(x)?x?3； 2）f(x)?x3?x2?x,g(x)?x?1?2i。 解 1）

q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109r(x)??327。

；

2）

q(x)?x2?2ix?(5?2i)r(x)??9?8i4．把f(x)表示成x?x0的方幂和，即表成

c0?c1(x?x0)?c2(x?x0)2?...?cn(x?x0)n??的形式：

1）f(x)?x5,x0?1；

2）f(x)?x4?2x2?3,x0??2；

3）f(x)?x4?2ix3?(1?i)x2?3x?7?i,x0??i。

解 1）由综合除法，可得f(x)?1?5(x?1)?10(x?1)?10(x?1)?5(x?1)?(x?1)； 2）由综合除法，可得x?2x?3?11?24(x?2)?22(x?2)?8(x?2)?(x?2)； 3） 由综合除法，可得x?2ix?(1?i)x?3x?(7?i)

432422342345?(7?5i)?5(x?i)?(?1?i)(x?i)2?2i(x?i)3?(x?i)4。

5．求f(x)与g(x)的最大公因式：

1）f(x)?x?x?3x?4x?1,g(x)?x?x?x?1； 2）f(x)?x?4x?1,g(x)?x?3x?1；

3）f(x)?x4?10x2?1,g(x)?x4?42x3?6x2?42x?1。 解 1）(f(x),g(x))?x?1； 2）(f(x),g(x))?1；

4332432323）(f(x),g(x))?x2?22x?1。

6．求u(x),v(x)使u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x))。 1）f(x)?x4?2x3?x2?4x?2,g(x)?x4?x3?x2?2x?2； 2）f(x)?4x4?2x3?16x2?5x?9,g(x)?2x3?x2?5x?4； 3）f(x)?x4?x3?4x2?4x?1,g(x)?x2?x?1。 解 1）因为(f(x),g(x))?x2?2?r2(x)

?f(x)?q1(x)g(x)?r1(x)再由?，

g(x)?q(x)r(x)?r(x)?212解得

r2(x)?g(x)?q2(x)r1(x)?g(x)?q2(x)[f(x)?q1(x)g(x)]?[?q2(x)]f(x)?[1?q1(x)q2(x)]g(x)u(x)??q2(x)??x?1v(x)?1?q1(x)q2(x)?1?1?(x?1)?x?2。

，

于是

2）仿上面方法，可得(f(x),g(x))?x?1，且u(x)??321122x?,v(x)?x2?x?1。 33333）由(f(x),g(x))?1可得u(x)??x?1,v(x)?x?x?3x?2。

７．设f(x)?x?(1?t)x?2x?2u与g(x)?x?tx?u的最大公因式是一个二次多项式，求t,u的值。 解 因为

3232f(x)?q1(x)g(x)?r1(x)?(x3?tx2?u)?(x2?2x?u)g(x)?q2(x)r1(x)?r2(x)?(x?(t?2))(x2?2x?u)?(u?2t?4)x?u(3?t)，

，

且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式r2(x)为0，即

??(u?2t?4)?0， ??u(3?t)?0?u1?0从而可解得? 或

t?2?1?u2??2。 ?t?3?2８．证明：如果d(x)|f(x),d(x)|g(x)，且d(x)为f(x)与g(x)的组合，那么d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。

证 易见d(x)是f(x)与g(x)的公因式。另设?(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，下证

?(x)|d(x)。

由于d(x)是f(x)与g(x)的一个组合，这就是说存在多项式s(x)与t(x)，使

d(x)?s(x)f(x)?t(x)g(x)，

从而由?(x)|f(x),?(x)|g(x)可得?(x)|d(x)，得证。

９．证明：(f(x)h(x),g(x)h(x))?(f(x),g(x))h(x)，(h(x)的首系数为１）。 证 因为存在多项式u(x),v(x)使(f(x),g(x))?u(x)f(x)?v(x)g(x)， 所以(f(x),g(x))h(x)?u(x)f(x)h(x)?v(x)g(x)h(x)， 上式说明(f(x),g(x))h(x)是f(x)h(x)与g(x)h(x)的一个组合。 另一方面，由(f(x),g(x))|f(x)知(f(x),g(x))h(x)|f(x)h(x)， 同理可得(f(x),g(x))h(x)|g(x)h(x)，

x)h)是x(f(x)h(x)与g(x)h(x)的一个最大公因式，又因为从而(f(x),g((f(x),g(x)h)的首项系数为１，所以x((f(x)h(x),g(x)h(x))?(f(x),g(x))h(x)。

１０．如果f(x),g(x)不全为零，证明：

??f(x)g(x),???1。

?(f(x),g(x))(f(x),g(x))?证 存在u(x),v(x)使(f(x),g(x))?u(x)f(x)?v(x)g(x)， 又因为f(x),g(x)不全为０，所以(f(x),g(x))?0，

由消去律可得1?u(x)f(x)g(x)?v(x)，

(f(x),g(x))(f(x),g(x))所以???f(x)g(x),??1。

(f(x),g(x))(f(x),g(x))??11．证明：如果f(x),g(x)不全为零，且u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x))，那么

(u(x),v(x))?。1

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