复矩阵若当标准形的性质与应用(3)

化简，化简后应与原问题有紧密联系，相似关系符合要求（见后面例9解的步骤（1）），将A化成若当标准形，于是问题归结为“例8”，然后过渡到一般情况，其结论显现出较强的规律，可以引出一些有趣的性质。 为了描述结果，我们引进下面的记号。记

T?n?n??{g?J?0,n??g?x??C[x]}

如果

g(x)?tn?1xn?1?tn?2xn?2???t1x1?t0

则

?t0??t1g?J?0,n??????tn?2?t?n?1t0t1tn?2??t0t1???? ??t0??上面的矩阵也成为下三角形Joepliz矩阵。可以看出，对任意a?C

T?n?n??{g?J?0,n??g?x??C[x]}?{g?J?a,n??g?x??C[x]}

如果B?Tn???n，由于B是J?0,n? 的多项式，因此B能与

J??0,n????0E?J?0,n??交换。可以看出，T?n?n?是Matn?n?C?的一个子空间，

并且dim?T?n?n???n 先考虑方程的特殊情况。

例8、求m?n矩阵X?xij，使得

??XT?u,n??T?v,m?X解：?1?与下式等价：

?1?

?v?u?X?B?C其中B,C都是m?n矩阵：

?2?

B?bij?XJ?0,n?,C?cij?J?0,m?X

????而

1?i?m,j?n?0bij???xi,j?12?i?m,1?j?n?1

i?1,1?j?n?0cij???xi?1,j2?i?m,1?j?n如果u?v，比较?2?两边第1行的第n列，得?v?u?x1n?0；

此时?2?的右边第2行的第n列是0，同理x2n?0；继续，得xin?0,1?i?n。此时从右到左依次同理可得xij?0，因此?1?只有解X?0。

如果u?v，?2?的右边为零，由B的第n列都是零，得

xin?0B的第n?1列，B的第n?1列的前m?1个元都1?i?m?，此时考察1是零，得xin?1?0,1?i?m?2,而由B的第n?1第m行，得xm?1n?1?xmn记为t0；再考察第n?2列，?，第1列，得到： A当m?n时，（1）的解集合是T(n?n); B当m?n时，（1）的解集合是

T(m?n)?{(C,0)?Matm?n(C)C?T(n?n)} C当m?n时，（1）的解集合是

?0?T(m?n)?{???Matm?n(C)C?T(n?n)}

?C?现在考虑一般情况

例9 设A?Matn?n(C),求n?n矩阵X，使得AX?XA。 解：（1）存在n级可逆阵P，使得P1AP是A的Jordan标准型：

J?diag(J1,J2,?,JS)

其中Jk?J(?k,nk),1?k?s.于是，当且仅当Y?P?1APH是JY=YJ的一个解时，X是AX=XA的一个解，将Y分块：

?Y11Y12?Y1s???YY?Y21222s?? ????????YY?Ys1s1??s1其中Yij是ni?nj矩阵，1?i?s,1?j?s,这时JY，YJ的计算都可以用分块乘法做

?Y11J1Y12J2?Y1sJS???YJYJ?YJ2222sS?YJ??211 ????????YJYJ?YJs12s1S??s11?J1Y11?JYJY??221????JSYs1J1Y12J2Y22?JSYs1?J1Y1s???J2Y2s?

?????JSYs1?求矩阵Y，就是求矩阵组：Yij??1?i?s,1?j?s,使得JijYij?YijJij,B由例8，并且利用该

例中的符号，如果?i??j,则JijYij?YijJij,的解集合是Yij?0;如果?i??j,(i?j)则JijYij?YijJij,的解集合是

???Yij?T(ni?nj),

?由此，原方程的解集合就已经完整地得到了，由例9的结论我们有下面的结论： 结论1：设

J?diag(J1(?0,n1),J2(?0,n2),?,JS(?0,ns))

其中n1?n2???ns,n?n1?n2???ns，则

?X?Matn?n(C)XJ?JX?,

的维数是d(J)?(2S?1)n1?(2s?3)n2??3ns?1?ns。

结论2：设?A?Matn?n(C)?,如果?1,?2,??k是A的所有的两两不同的特征值，A的若尔当标准型是diag(J1,J2,?,Jk)，其中Ji是属于特征值?i的若尔当块组成的块对解矩阵，i?1,2,?,k,则

?X?Mat的维数是：

n?n(C)AX?XA?,

?d(J)

ii?1k其中d(Ji)是与矩阵Ji可交换的矩阵，所组成的线性空间的维数，它在结论1已经给出

结论3 设A?Matn?n(C)，如果A的若乐当标准型中的各若尔当块所属的特征值

两两不同，则与A可交换的矩阵必定是A的多项式。这就是说上述条件是

?X?Matn?n(C)AX?XA??{g(A)g(x)?C(x)}的充分必要条件。

3．在解线性递推关系式中的应用

?????1??是n阶若当块，则 引理：设J????????1???0m?Cm??1m?10mC?Cmm??2m?21m?10mJ??Cm?Cm?Cm??????2m?2?Cn?1?m?n?11?Cm??m?1m?1Cm????m!k?其中Cm（当?k!(m?k)!??0m?Cm??kk?m）时Cm?0。

定理：设Sn?a1Sn?1?a2Sn?1??akSn?k（其中a1,a2,?ak为已知常数）是一个线性递推关系。P?1AP?J.其中J为矩阵A的若当标准型，而矩阵

?a1a2?ak?1ak???10?00??A??01?00?

??????????00?10???是由线性递推关系式所唯一确定的K阶方阵，如果

?SK??d1?????Sd?K?1??2??????，则Sn?dk。 PJn?1P?1???????S2??dk?1??S??d??1??k?

证明：因为Sn?a1Sn?1?a2Sn?2??akSn?k

?Sn?k?1?a1Sn?k?2??akSn?1从而，

?Sn?k?1??a1Sn?k?2??akSn?1?????SS?n?k?2??n?k?2?? Hn??Sn?k?3???Sn?k?3???????????S??S??n??n??a1a2??10??01?????00??ak?1ak???00??00???????10???Sn?k?2???S?n?k?3?????AHn?1 ???Sn??S??n?1?于是H2?AH1,H3?AH2?A2H1,?,Hn?An?1H1 又因P?1AP?J,A?P?1JP,An?1?P?1Jn?1P

所以Hn?PJn?1P?1H

即

?Sn?k?1??Sk??d1???????SS?n?k?2??k?1??d2??Sn?k?3??PJn?1P?1?Sk?2???d3? ????????????????S??S??d??n??1??k?故Sn?dk

例10、求n阶行列式

?6116???16116????16116??Dn??1611??

?1??6????611???16???解：将Dn按第一行展开，Dn?6Dn?1?11M12?6M13，这里M12与M13分别是a12与

a13的余子式，把它们分别按第一列展开，得Dn?6Dn?1?11Dn?2?6Dn?3

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