复矩阵若当标准形的性质与应用(2)

故

?，APs???P1J1,P2J2，?，PsJs? ?AP1，AP2，比较上式两端，得APi?PJiii?1,2,?,s?3?

i对Pi按列分块Pi?Xi1,Xi2,?Xin ，其中Xi1,Xi2,?Xin是ni个线性无关的n维

i??列向量，代入?3?可得

?AX??X?Xi1ii1i2??AXi??iXi?Xi223?????????AXin?1??iXin?1?Xin?iii?AX??Xiniin?ii?i?4?

由最后一个方程看到，列向量Xin是矩阵A的特征值为?i所对应的特征向量，且由Xin继而可求得Xin,?,Xi2,Xi1 ，因此，矩阵Pi以至P都可求得。

i

i?1但需要注意的是：特征向量Xin的选取要保证Xin可以求出，类似地Xin的

ii?1i?1选取也要保证Xin可以求出，如此等等。

i?2例5、已知

??1?26???A???103?

??1?14???求A的若当标准形和可逆矩阵P，使P?1AP?J。 解：先求A的初等因子

1???12?6??1???E?A??1??3?????1?1?1??4??????121??41?1??1?????0??1???1???0??1?0???1??2?3??2??00????10???0??1??00???0?2????1???0??4???3??6????4?????1? ??2?2??1??所以A的初等因子为??1,???1?A的若当标准形

2

?1???J??10?

?11???于是存在P?C3?3，满足AP?PJ，令P??X1,X2,X3? ，得

?1?? 10?AX1,AX2,AX3???X1,X2,X3?????11???比较上式两边，得：AX1?X1,AX2?X2?X3,AX3?X3 即?E?A?X1?0,?E?A?X2??X3,?E?A?X3?0

由此可见，X1，X3是A的特征值为1的两个线性无关的特征向量，解方程组

?E?A?X?0 ，可求得两个线性无关的特征向量为????1,1,0?，???3,0,1?，

取X1??，但不能简单地取X3??，因为X3还要保证非齐次线性方程组因此，选取X1??，X3?k1??k2?，其中k1,k2要保证X1?E?A?X2??X3有解。与

''X3线性无关，且使得

'?E?A?X2??X3有解。因

X3??k1??k2??3?k1,??k,2，即选取k1k2k1,k2，使方程组

?22?6??x1??k1?3k2??????11?3x??k?E?A?X2?????X3 ???2??1?11?3??x???k????3??2?有解。不难知，当k1?k2时，方程组有解，且其解为

x1??x2?3x3?k1

k1为非零任意常数，取k1?1，这时得：

X3??2,1,1?,X2??2,0,1?

''??122??1?? 容易验证?1?? 于是P??101PAP?10?????011??11?????性质四 n级若当块

?a???1a? J?a,k?????????1a??的最小多项式为?x?a?。

性质五 设?是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使?在这组基下的矩阵是若当形的，并且这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被?唯一决定的。

性质六 设?是复数域上n维线性空间V的线性变换，

k????1?,????2?空间的直和：

r1r2,?,????k?k 是?的初等因子组，则V可分解为k个不变子

???rV?V1?V2???Vk

其中Vi的维数等于ri。

证明：设V是n维复线性空间，?是V上的线性变换。 设?的初等因子组为

????1?,????2?,?,????k?

则性质五告诉我们，存在V的一组基{ei}i?1,?,n，在这组基下?的表示矩阵为

?J1?J???????? ???Jk?r1r2rkJ2上式中每个Ji是相应与初等因子????i?的若当块，其阶正好为ri，令V1是由基元e1,?,er1生成的子空间，则

ri?e1,?,er?e1,?,er1???1???1???1?1?? ??????1??1?即

??e1???1e1?e2??e2???1e2?e3????

11????e???e1?er?1??1er?1?err11r1这表示??V1??V1，即V1是?的不变子空间。这一结论自然对任一i都对，即Vi是

Ji的?不变子空间，其中Vi是对应于Ji的V的子空间。Vi由es?1,?,es?ri生成 ，其中s?r1???ri?1，我们有V?V1?V2???Vk。

???二、应用

1、在“矩阵分解论”中的应用

例6、（Voss定理）复数域上任意n阶方阵A都可以分解成两个对称矩阵之积，并且其中至少有一个可逆的。 证明：记

1?1?1?????????11? ?P(n1)??,B(?1,n1)???1??????????1??n1?n1?1?它们都是对称的n1?n1矩阵,P(n1)是可逆的，并且

J(?1,n1)?P(n1)B(?1,n1)

设A为复数域上的n级方阵，则A相似于一个若当形矩阵，即存在复数域上可逆的n级方阵T，使得A?TJT?1，其中

J?diag?J(?1,n1),J(?2,n2),?,J(?s,nS)?

取

P?Tdiag?P(n1),P(n2),?,P(nS)?T'

B?(T?1)'diag?B(?1,n1),B(?2,n2),?,B(?s,nS)?T?1

则B,P都是对称的，P是可逆的，并且A?PB

例7、证明任一复矩阵A均可分解为A?B?C，其中C为幂零阵，B相似于对角形，且BC?CB

证明：存在可逆矩阵T，使

?J1??1TAT?????J2??? ???Js???0????10???? ??????????i??10?其中

??i???i???1?i???Ji??????????1?i????i设

??i?Bi??????i??0????10?,C??? i??????????i?10????C1????C2????

????????Bs??Cs????T?1 ???Cs?则

?B1?T?1AT?????B2令

?B1?B?T????B2???T?1???Bs??C1?,C?T????C2显然B,C为所求。

2、在“矩阵方程”中的应用

我们以“设A?Matn?n?C?；求矩阵X，使得AX?XA”为例，说明若当标准形在解矩阵方程中的应用。

上述问题可以归结为解齐次线性方程组，它有n2个未知数。如果直接用A来做，在理论上，总是可以解的，但很复杂，即使对低阶的矩阵A，由结果也很难找到什么规律，难以看出解集合所成的子空间的维数与什么有关。因此应该将A

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