复矩阵若当标准形的性质与应用

莆田学院数学与应用数学系 “高等代数选讲”课程论文

题目：复矩阵若当标准形的性质与应用

姓名： 廉换霞 学号：410401143

莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级

2007年6 月 25 日

复矩阵若当标准形的性质与应用

数本041 廉换霞 410401143

摘要：若当标准形有广泛的应用。本文首先给出了若当形矩阵的定义和若当标准形的一些

性质及相关例题。然后讲到其应用。若当标准形在“矩阵分解论”、“矩阵方程论”，在解线性递推关系式等等中都有它的应用，我们通过一些例题来说明。最后，利用若当标准形的性质给出了哈密尔顿——凯莱定理的另一种证法。

关键词：若当形矩阵 若当标准形 初等因子 可逆阵 哈密尔顿——凯莱定理

一、 定义及性质

1、若当形矩阵的定义 形式为

?????1?? J(?,t)????????1???t?t的矩阵称为若当块，其中?是复数。由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。

特别地一级若当块就是一级矩阵，因此若当形矩阵包括对角矩阵。 2、若当标准形的性质

性质一 若当形矩阵除去其中若当块排列次序外，被它的初等因子惟一决定。 此性质可用于求矩阵的若当标准形。 例1 求矩阵

??1?26???A??103 ??

??1?14???的若当标准形

解：首先求?E?A的初等因子

00???12?6??0???1???3??2??1???????E?A??1??3?0??1???1?0??1???1??????2?1???0???1???3??2?1??4?1??4???1???0000??1??1??????0??1???1???0??10??0?0??2?2??1?0(??1)2????0?因此，A的初等因子是??1，(??1)2，A的若当标准形是

?100???J??010?

?011???性质二 一个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子的汇集。

例2、设复准对角

?A1?A?????A2??? ???AS?其中Ai是ni阶方阵，i?1,2,?,s。证明：A的初等因子是各个Ai（i?1,2,?,s）初等因子的汇集。

证明：因对于各个子块Ai，都有ni阶可逆矩阵Qi，使得

Qi?1AQii?Ji这里Ji是Ai的若当标准形，令

?Q1?Q?????i?1,2,?,s

Q2??? ???QS?则Q是n阶可逆矩阵，且

?J1?Q?1AQ?????????J ???JS?J2由若当标准形的唯一性，J是A的若当标准形，每个Ji就是J的若当块，由性质二，J的初等因子是个各个Ji?i?1,2,?,s?初等因子的汇集。因为

Ai?JiA?J，相似矩阵有相同的初等因子，所以A的初等因子是各个

Ai?i?1,2,?,s?初等因子的汇集。

性质三 每个n级的复数矩阵A都与一个若当矩阵相似，这个若当矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的，它称为A的若当标准形。 此性质在解题中有广泛的应用。

例3、证明任意n级复矩阵A与它的转置A'相似。 证明：由性质3，存在可逆矩阵P使得

?Jt1??1????Jt2??2????1PAP???

????Jtr??r???? 故

?Jt1??1????Jt2??2????1A?P??P

????Jtr??r????令

1?????1? En???????1??则En?E，所以En???1?2??1?En

?EnJti??i?En1????i???1????i'???i??1???i????1??????????????1????'?1?i?????J'???

tii?1???i?得Jti??i??EnJti??i?En?EnJti??i?En所以

??1i?1,2,?,r

?Jt1'??1????'Jt2??2??'?1'?A?(P)??P???'?J??r??t?r??Jt1??1??????J???'t2?2??1'?(P)En??EnP

????Jtr??r?????(P)EnPAPEnP?(PEnP)A(PEnP')?1'??1?'?'?1?故A?A'

例4、证明：n级复矩阵A的n个特征值是?1,?,?n，则对于任一复系数多项式

g???，矩阵A的多项式g?A?的n个特征值是g(?1),?,g(?n)

证明：设g????am?m???a1??a0，则g?A??amAm???a1A?a0E 。由于性质三，存在可逆阵P，使得

??1?P?1AP????????? ????n??2于是

P?1g?A?P?P?1(amAm???a1A?a0E)P?am?PAP????a1?P?1AP??a0E?1m??1m???1???m?2????a??am?1?????????m???n????g(?1)???g(?)2?????????g(?)n???2??a0???????????n??a0?????? a0?由于相似矩阵具有相同的特征值，故g?A?的特征值是g(?1),?,g(?n)。 补充 可逆阵P的求法

由性质三，对任意n级复矩阵A都存在一个可逆阵P，使得

P?1AP?J由?1?可知

?1?

AP?PJ?Pdiag?J1，J2，?，Js??2?

把变换矩阵P按若当块Ji的阶数ni进行相应的分块，即记P??P1，P2，?，Ps?，其中Pi?Cni?ni，因此

A?P1，P2，?，Ps???P1，P2，?，Ps?diag?J1，J2，?，Js?

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