光学信息技术原理及应用(第二版)课后答案(5)

振幅分布曲线图从略。

2.7 在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化，试证明：（1）不论孔径的形

状如何，夫琅和费衍射图样都有一个对称中心。（2）若孔径对于某一条直线是对称的，则衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。 证明：（1）在孔径上的场没有相位变化时，衍射孔径上的光分布g?x,y?是一个实函数，其傅里叶变换G?fx,fy?是厄米型函数，即： G?fx,fy??G*??fx,?fy?

因此I?fx,fy??G?fx,fy??G??fx,?fy??I??fx,?fy?，所以夫琅和费衍射图样有一个

?*?对称中心。

（2）孔径对于某一条直线是对称时，以该直线为y轴建立坐标系。有： g?x,y??g??x,y?

*因此 G?fx,fy??G??fx,fy?

*同时 G?fx,fy??G??fx,?fy?

所以

G*?fx,?fy??G??fx,fy??G*?fx,fy?G?fx,fy??G?fx,?fy?

可见衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。

2.8 试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有N个形状和方位都相同的全等形开孔，

在每一个开孔内取一个相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个因子的乘积：（1）置于原点的一个孔径的夫琅和

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费衍射（该衍射屏的原点处不一定有开孔）；（2）N个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉。

证明：假设置于原点的一个孔径表示为t??x?,y??，N个处于代表孔位置的点上的点光源表示为?δ?x?xi,y?yi?，则衍射屏的透过率可表示为

N t?x?,y???t??x?,y????δ?x?xi,y?yi?，

N其傅里叶变换可表示为

F?t?x?,y????F?t??x?,y????F??δ?x?xi,y?yi??，

?N???该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对应于N个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。

2.9 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数

??????r???cosar?circ?? ???a? t?r????（1） 这个屏的作用在什么方面像一个透镜？ （2） 给出此屏的焦距表达式。

（3） 什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置（特别是对于彩色物体）？ 答：（1）解

衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形式：

??11?22t(x,y)???cos[?(x?y)]?circ???22??

22

22x?y?? ?l??1?11?2222 ???exp[?j?(x?y)]?exp[j?(x?y)]??circ??4?24??22x?y?? （1） ?l?（1）式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜位相变换因子exp??j??22?(x?y)?比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这两项的作2f?k用是分别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏

?都有些类似与透镜，因子circ???22x?y??表明该屏具有半径为l的圆形孔径。 ?l?（2）解

把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到相应的焦距，对于

14exp[?j?(x?y)]项，令??22k2f1，则有

f1?k2?????

焦距f1为正，其作用相当于会聚透镜，对于exp[j?(x2?y2)]项，令??41?k2f2，则有

f1??k2??????

1焦距f2为负，其作用相当于发散透镜，对于“”这一项来说，平行光波直接透过，

2仅振幅衰减，可看作是 f3?? （3）解

由于该衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三个像，例如对于无穷远的点光源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像，另一个像在无穷远（直接透射光）（参看图4.12）。当观察者观察其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除

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此以外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长?成

。。反比。例如取?red?6900A，?blue?4000A，则有 fred?40006900fblue

?0.57fblue

这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到严重的色散现象。

这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。

2.10 用波长为??6328A的平面光波垂直照明半径为2mm的衍射孔，若观察范围是与

衍射孔共轴，半径为30mm的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。 答：由式(2.55)z???费衍射分别要求

π?λπ?λ(L??L?)及式(2-57)z??????12k(x0?y0)有菲涅耳衍射和夫琅和

22 z???(L??L?)即z??????π???.??????????????????????.?mm

z??k?x???y??????π?.???????????????.?mm

?

2.11 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样

在轴上的强度分布。 答：圆形孔径的透过率可表示为

??t?x?,y???circ??

??x??y????a????U??x?,y???circ??24

??x??y??? ?a?根据式(2.53)有

U?x,y??exp?jkz?jλz?exp???????expjx?y???circ??????z????k???x??y????a??

?π?k?????jx???y???exp?jxx??yy??dx?dy??????λz???z?轴上的振幅分布为

??circ?????????x??y???k??expj?x???y???dx?dy????a??z??U??,?,z??exp?jkz?jλz

?exp?jkz?jλz?πa??exp????k???k???jrrdrdθ?exp?jkz????expja??????z???z????轴上的强度分布为

???k????k???U??,?,z??exp?jkz????expja??????cos?a??????z????z????

?k????sin?a???z?2

2.12 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为 t?x???a?bcos?πx?d

式中，d为光栅周期，a?b??，a?b??。观察平面与光栅相距z。当z分别取下列各数值：（1）z?zT??d??；（2）z?zT??d??；（3）z?zT??d???（式中zT称作

泰伯距离）时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 答：根据式(2.31)单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为 U?x,y????a?bcos?πx?d

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