光学信息技术原理及应用(第二版)课后答案(3)

既然，成像的频谱相同，从空间域来看，所成的像场分布也是相同的，即 U'i(x,y)?Ui(x,y)

因此，只要求出A'0(fX,fY)的逆傅立叶变换式，就可得到所需的等效物场，即 U'0(x,y)?F带入（1）式，并利用卷积定理得到

???fX??fY???A(f,f)rectrect?0XY??????F??2BX??2BY???????fX??fY??1?combcomb??????4BB2B2B?XY?X??Y?????1?A'0(fX,fY)?

U'0(x,y)?F?1?1 ?F?1??fX??fY????（2） A(f,f)rectrect?0XY??????comb(2BXx)comb(2BYy)

??2BX??2BY????上式也可以从抽样定理来解释。

?fX??fY? A0(fX,fY)rect??rect??

2B2B?X??Y?是一个限带的频谱函数，它所对应的空间域的函数可以通过抽样，用一个点源的方形阵列来表示，若抽样的矩形格点的间隔，在x方向是

12BX，在y方向是

12BY，就得到等

效物场U'0(x,y)

??fX??fY????rect?A0(fX,fY)rect?????

??2BX??2BY???? F?1 ?U0(x,y)?4BXBYsinc(2BXx)sinc(2BYy)

? ?4BXBY??U??0(?,?)sinc[2BX(x??)]?sinc[2By(y??)]d?d?； （3）

comb(2BXx)comb(2BYy)

11

?14BXBY????n???m?????x???n2BX,y?m?? （4） 2BY?把（3）、（4）式代入（2）式，得到

??????nm?U'0(x,y)????U0(?,?)sinc[2BX(x??)]?sinc[2BY(y??)]d?d???????x?,y??????n???m????2BX利用?函数性质（1.8）式，上式可写为

U'0(x,y)????????U(?,?)sinc[n?2B?)]?sinc[m??nm?n???m??????0X?2BY?)]d?d????x?,y?? ????2BX2BY?这一点源的方形阵列构成的等效物场可以和真实物体U0产生完全一样的像Ui. 本题利用系统的传递函数，从频率域分析物象关系，先找出等效物的频谱，再通过傅立叶逆变换，求出等效物场的空间分布，这种频域分析方法是傅立叶光学问题的基本分析方法。

第二章 习题解答

2.1 一列波长为?的单位振幅平面光波，波矢量k与x轴的夹角为450，与y轴夹角为

600，试写出其空间频率及z?z1平面上的复振幅表达式。

答：fx???λ , f2y?2? , U?x,y,z?321??exp?jkz1?expjπ2???2λy???U?0,0,0? ?2λx?

12

2BY?2.2 尺寸为a3b的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的

平面上的透射光场的角谱。

x??y??cosαcosβ??cosα??cosβ?答：U?x,y??rect? ，rectA,?absincasinc?????b? ， ?????a??b??λλ??λ??λ?

2.3 波长为?的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大

的模板，其振幅透过率为t?x????.????cos???πx0?，求紧靠孔径透射场的角谱。 ?λ??答:：

?cosαcosβA?,λ?λ??cosαcosβ??.?δ,??λ??λcosα?cosα???cosβ???????.??3λδ?λ????λδ?λ????δ???????λλ???????λ????cosα????cosβ?????δ???δ??λ???λ???λ?cosαcosβ??.?δ?,λ?λ??cosα??????.???δ??λ???λ

2.4 参看图2.13，边长为?a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中

心落在??,??点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。画出?????时，孔径频谱在x方向上的截面图。

13

y0a2aO(?,?) x0

图2.4题

x???x??ξ??y??η??y??答：t?x?,y???rect?rect?rectrect???? ??????a???a??a??a?? F?t?x?,y?????asinc?2afx?sinc?2afy??a?sinc?afx?sinc?af?exp?-j2πa?fyx?fy??

U?x,y??????asinc??k???exp?jkz?exp?j?x?y???jλz?2z?x??2a?λz??sinc?y??2a?λz????asinc??x?a?λz??sinc??y?a?λz??exp?y?????x??-j2πa?????λzλz?????

x???I?x,y??2??asinc?2a?sincλz?λz??y???2a???asinc?λz??x??a?sinc?λz?y????y??xaexp-j2πa????????λz??λzλz????

2.5 图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为a，长度为b，中心相

距为d。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。假定b??a及d??.?a，画出沿x和y方向上强度分布的截面图。如果对其中一个矩形引入位相差?，上述结果有何变化？

14

xadOby

图 题2.5 （1）

答：如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在(0,)及(0,?2dd2)的矩形孔径振幅透

射率之和：

x0?)rect(dx0?bd2) （1）

t(x0,y0)?rect(y0a2)?rect(y0)rect(ba由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场

U0(x0,y0)?1 ，

透射光场

y0?)rect(dy0?bd2) （2）

U(x0,y0)?U0(x0,y0)?t(x0,y0)?rect(x0a2)?rect(x0)rect(ba由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样U(x,y)，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标fx?即

?k22?j(x?y)?2z????F?U(x0,y0)? （3）

j?z15

x?z,fy?y?z），

exp(jkz)expU(x,y)?

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