光学信息技术原理及应用(第二版)课后答案(2)

f11图 1.4（4）

1

因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：

???(f)?0.685?11?22?????(f?)??(f?)?50sinc(50f)?0.171?(f?)??(f?)?? ???33?33????其反变换，即输出函数为：

x2?x?1?1.37cos2??0.342cos2?xrect() ??33?50?该函数为限制在??25,25?区间内，平均值为1，周期为3，振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5，振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。 传递函数（2）形为：

6

1f

图 1.4（5）

此时，输出函数仅剩下在??2,?1?及?1,2?两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数（2）在??1,1?的零值也是不能忽略的，由于

24sinc()?0.043325sinc()?0.027

3可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为：

45?x?0.043cos2?x?0.027cos2?xrect() ??3350??该函数依然限制在??25,25?区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043，周期为0.75，的一个余弦函数与振幅为0.027，周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。

1.5 若对二维函数

h?x,y??asinc??ax?

抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。

?f?ax???Λ?x?δ?fy?

?a?7

答：?F?h?x,y???F?asinc

?? ?X???Bx???a;Y??

也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于1/2a，在y方向抽样间隔无限制。

1.6 若只能用a?b表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即

???x??y???x??ycombrectrect????????X??Y???a??b?? ? gs?x,y??g?x,y??comb?试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复g?x,y?。

答：因为a?b表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复g?x,y?也有贡献，不可省略。

1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”f?x,y????x?，系统对线脉冲的输出响应称为线响应L?x?。如果系统的传递函数为H?fx,fy?，证明：线响应的一维傅里叶变

换等于系统传递函数沿fx轴的截面分布H?fx,0?。

证明：F?L?x???F?δ?y??h?x,y?????fy?H?fx,fy??H?fx,0?

1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间fx?Bx，fy?By之外恒为零，系统输入为非限带函数g??x,y?，输出为g'?x,y?。证明，存在一个由脉冲的方形阵列构成的抽样函数g?'?x,y?，它作为等效输入，可产生相同的输出g'?x,y?，并请确定g?'?x,y?。

答：为了便于从频率域分析，分别设：

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物的空间频谱 A0(fx,fy)?F{g0(x,y)}； 像的空间频谱 Ai(fx,fy)?F{gi(x,y)}； 等效物体的空间频谱 A'0(fx,fy)?F{g'0(x,y)}； 等效物体的像的空间频谱 A'0(fx,fy)?F{g'0(x,y)}.

由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在fx?Bx,fy?By之外恒为零，故可将其记为：

?fy?fx?H(fx,fy)?rect??rect??2B2Bx?y????、 ??利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为

?fy?fx?A0(fx,fy)?H(fx,fy)rect??rect??2B2B x?y???Ai(fx,fy)??? ?在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办法是把A0(fx,fy)?rect??fy?fx??rect???2B2Bx?y????安置在fxfy平面上成矩形格点分布的每一??个(2Bxn,2Bym)点周围，选择矩形格点在fx、fy方向上的间隔分别为2Bx和2By,以免频谱混叠，于是

?fy?fx?A'0(fx,fy)?A0(fx,fy)?rect??rect??2By?2Bx???fy?f??A0(fx,fy)?rect?x?rect??2By?2Bx???????????n???m?????fx?2Bxn,fy?2Byn?

??fy?fx?1?combcomb?????4BB?2B2Bxyx?y????? ??（1）

9

对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许A'0(fx,fy)的中央一个周期成份（n?m?0）通过，所以成像的谱并不发生变化，即

?fy?fx?A'0(fx,fy)?H(fx,fy)rect??rect??2B2Bx?y???A'i(fx,fy)

?? ???Ai(fx,fy)

图1.8用一维形式表示出系统在频域分别对A0和A'0的作用，为简单计，系统传递函数在图中表示为rect??fx??。 2Bx???f?A'0(fX)?A0(fX)rect?X?

?2BX?A0(fX) *??(fX?2BXn)

fX-BXBX2BXfXH(fX)1H(fX)1-BXBXfX-BXBXfXAi(fX)=A0(fX)H(fX)A'i(fX)=A0(fX)H(fX)-BXBXfX-BXBXfX

图 题1.8

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