基于小波变换的CT图像去噪增强研究(7)

南通大学毕业设计（论文）

第三章 基于小波变换的CT图像去噪研究

通常，我们现实生活中所见到的未处理的图像都是带噪声的，为了对图像进行更高层次的处理，图像去噪显的很有必要。然而图像去噪领域发展至今，已经出现了各种各样的去噪方法。在这些方法中，根据噪声能量一般集中在高频段，图像频谱分布区域有限的特点使用低通滤波方式对图像去噪的方法是最常用的方法。

近年来，小波变换理论发展非常迅速，并且小波变换因其具有良好的时频特性，被广泛运用于现实生活中。同样的，在图像去噪领域，小波变换理论也拥有非常好的发展前景。基于小波变换的图像去噪已取得了非常好的效果。总体上说，基于小波变换的去噪方法的广泛运用主要是因为小波变换的以下几点特点[8]：

1. 低熵性：小波系数分布的稀疏性，使图像经变换处理后熵值降低；

2. 多分辨率性：通过采用多分辨率的方法，可以较好的体现信号的非平稳特性，例如边缘和断点等；

3. 去相关性：由于小波变换对信号可以去相关，所以小波域在去噪上比时域更有利； 4. 选基灵活性：小波变换可以根据场合以及对象的不同灵活的选择变换基，从而可以选择不同的小波基函数以使得图像去噪效果最好。

3.1小波去噪原理

设有观测信号，公式如下

f(t)?s(t)?n(t) （3-1）其中s(t)是原始信号，n(t)是均值为零，方差为?2的高斯白噪声，且服从N(0,?2)。 只根据观测信号f(t)来提取有用信号s(t)是非常困难的，必须使用其他变换方法的帮助。小波变换理论是图像去噪方面非常好的工具，有效克服了传统方法处理非平稳信号时的局限性。

由于小波变换良好的时频特性，对图像去噪可以达到良好的效果，图像经过采样得到一系列矩阵之后，再对图像进行小波变换。经过小波变换的图像可以分成一个低通分量LL和三个高通分量（HL ，LH ，HH ），即一个高频分量和两个次高频分量。分解过程如图3.1所示。

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行列LL1HL1HH1原始图像LHLH1一阶分解二阶分解

图3.1图像的小波分解

对于一维信号f(t)，我们首先对其进行离散采样分析，获得N点的离散信号

f(n),n?0,1,2???,N?1，对其进行小波变换可得

Wf(j,k)?2?j2?f(n)?(2n?0N?1?j n?k) （3-2）

而实际运用时，用公式（3.2）做直接计算是很麻烦的，并且?(t)Wf(j,k)就是小波系数。

不具有显式的表达式，所以必须通过使用双尺度方程来获得小波变换的递归调用方法:

Sf(j?1,k)?Sf(j,k)*h(j,k) （3-3） Wf(j?1,k)?Sf(j,k)*g(j,k) （3-4）其中h起着尺度函数?(x)的低通滤波的作用，g起着小波函数?(x)的高通滤波的作用，

Sf(0,k)表示原信号，f(k)和Sf(j,k)表示尺度系数，Wf(j,k)表示小波系数。由此可得重

构式是

Sf(j?1,k)?Sf(j,k)*h(j,k)?Wf(j,k)*g(j.k) （3-5）

其中h表示重构后的低通滤波器，g表示重构后的高通滤波器。

方便起见，我们将小波系数Wf(j,k)简记为wj,k，对检测信号f(k)?s(k)?n(k)进行离散小波变换。根据小波变换线性的特性可知，小波系数wjk经过分解仍然由两大部分组成，第一大部分为信号s(k)的小波系数，记为uj,k，第二大部分为噪声n(k)的小波系数，记为

vj,k。

小波阈值去噪方法基于uj,k和vj,k的两大特性：

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（1）对于信号s(k)，因为其在空间不均匀分布的特性，它在各尺度上的小波系数uj,k

仅仅在一些少数的特定(j,k)点上幅值比较大。这些特定的点代表原始信号s(k)的奇变位置以及关键信息，而其他大部分(j,k)点的uj,k幅值很小，并且uj,k的幅值大小会随尺度的变大而相应的变大；

（2）对高斯白噪声n(k)进行小波变换，其变换后的信号仍是高斯分布的。而在(j,k)域上小波系数vj,k分布相对一致， vj,k的幅值变化正比于尺度值的倒数。

根据以上两个特性可得出：白噪声n(k)对所有的(j,k)点的小波系数wj,k有作用；而信号s(k)只作用于非常少的(j,k)点的小波系数wj,k。即所有的小波系数wj,k和噪声n(k)有相互关系；只有很少一部分小波系数wj,k和信号s(k)相关。因此我们可以把小波系数wj,k分为两个大类:第一大类是幅值较小，个数比较多的小波系数，且它们全部是由白噪声变换得到；第二大类是幅值较大，个数比较少的小波系数，但是它们是由包含噪声的信号变换得到。因此，Donoho等人提出了阈值去噪法。该方法先选定一个合适的数值T 作为阈值，将绝对值小于T 的小波系数wj,k看作第一大类的小波系数，并置0（该类小波系数主要来自噪声）；将绝对值大于等于T 的小波系数wj,k看作第二大类的小波系数，保留这些小波系数的方法称为硬阈值法，将这些小波系数按一个选定的值向原点收缩的方法称为软阈值法。根据以上公式可得到估计小波系数wj,k(英文缩写为EWC)的值 ，由于估计小波系数大部分来自信号s(k)，只要对估计小波系数wj,k直接进行信号重构，就可以实现对信号的去噪。阈值去噪法的优点在于保留了大部分基于信号的小波系数，从而信号的细节特征保留的比较完整。这种方法的实现过程如下:

（1）先选取适合的小波基，再确定小波分解的层数，含噪信号f(k)经过小波变换后，得到小波系数组wj,k；

（2）对wj,k作阈值处理可以获取估计小波系数wj,k的值，并且wj,k?uj,k要尽量小； （3）根据估计小波系数直接进行信号重构所获得的信号即为去噪信号。

????3.2小波去噪方法

大体上，可以把小波去噪的方法分为三大类：小波萎缩法、投影法、相关法。

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3.2.1小波萎缩法

小波萎缩法是目前着重研究的方法之一,它又分成两类:第一类是阈值萎缩法。由于实际信号对应于大的小波系数,而噪声主要生成的是小的小波系数。因此可以选择恰当的阈值, 对于小于该阈值的小波系数，设为0,而对于大于该阈值的小波系数保留下来，然后再经计算得到估计小波系数,根据估计小波系数进行信号重构实现即可，这种方法被称为阈值萎缩。第二类是比例萎缩法，该方法是根据信号含噪声的多少用概率等度量方法来确定萎缩的比例。

在阈值萎缩法中，首先要做的是选定阈值，这是至关重要的。阈值主要分为两类：全局阈值以及局部阈值。全局阈值主要分为以下5种：

1) Donoho和Johnstone统一阈值（简称DJ阈值）。???2lnN，?指噪声的方差，N指信号尺度。

2) 基于零均值正态分布的置信区间阈值。??3?4?，因为零均值正态分布变量主

要集中于区间[?3?,3?]内，可以认为原始信号的小波系数主要是绝对值大于3?的的小波系数。

3) 最小最大化阈值。该阈值是Donoho和Johnstone在最小最大化条件下对DJ阈值的增强版。

4) 理想阈值。理想阈值没有固定的表达式，它是根据均方差原则产生的最佳阈值。该阈值的计算建立在对原始信号已知情的前提下，但在实际应用中不符合实际，所以只能根据该原则的估计版本得到最小估计阈值，并将它看作实际最佳阈值的估计值。

5) BayesShrink阈值和MapShink阈值。

而局部阈值判定小波系数是主要来自噪声,还是主要来自信号是通过观察某个局部的特征,再根据一些灵活的判定原则来实现的，从而达到“去噪”的目的。Chang根据区间估计的原理以及提出假设并检验假设提出了一种局部阈值萎缩法；Vidakovic等人根据主要来自信号的小波系数和主要来自噪声的小波系数在不同尺度中分布不一样的特性, 提出了一个阈值计算公式用于小波系数的计算处理；经实验证明，局部阈值和全局阈值相比更适合于信号处理，但计算比较的复杂。

阈值选择最根本的是应该根据实际需求来选择合适的阈值。因此，对阈值方法的研究应该基于问题本身。

阈值函数分为三种：第一种人们称为硬阈值函数；第二种被称为软阈值函数；第三种

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被称为半软阈值函数。

1) 硬阈值函数：硬阈值函数的原理是对大于阈值的小波系数不做改变，而把小于阈值的小波系数都置0。

2) 软阈值函数：软阈值函数的原理是把大于阈值的小波系数与阈值相减获得一个的值作为新的小波系数，而把小于阈值的小波系数都置0。 图3.2用波形表示了硬阈值函数和软阈值函数的准则：

151050-5-10-15-15-10-50a510151050-5-10-15-15-10-50b5101515硬阈值函数软阈值函数图3.2硬阈值函数和软阈值函数

硬阈值方法可以比较好的保留图像边缘和细节等局部特征,但图像会出现振铃等视觉失真的情形,而软阈值方法处理结果与硬阈值法结果相比较为平滑,但是软阈值方法会造成边缘模糊以及细节特征丢失等失真情形。为此，Bruce和Gao又提出了一种阈值函数：半软阈值函数[9]。

半软阈值函数和软阈值函数相同是一种连续函数，但它比硬阈值函数的稳定性更好。而且, 其萎缩量与小波系数成反比，这点和硬阈值函数类似,因此，它的失真现象比软阈值函数好很多。通过选择恰当的半软阈值，可以做到兼顾软阈值法和硬阈值法的优点,在有效去噪的同时尽量保留图像边缘和细节特征。

比例萎缩法是一种很好的图像去噪方法，它具有适应局部信号的能力，相对于阈值去噪法更灵活。很多人利用比例萎缩法去噪取得了很好的效果。例如，Malfait等人利用BayeS估计理论，将图像通常无独立的边缘点的结论和小波变换图像的Hoilder指数相结合,计算出了小波系数来自信号的概率,并根据该值对图像作比例萎缩,很好的消除了由噪声带来的伪边缘现象。

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