南通大学毕业设计（论文）
?a,b(t)?1?t?b??? （2-5） ;a?0? a,b?Ra?a?称之为小波序列。a被称为伸缩变量，b被称为平移变量。
函数组f(t)?L2(R)的连续小波变换可写为
Wf(a,b)?f,?a,b?a逆变换公式为
?12?Rf(t)?(t?b )dt （2-6）
a1f(t)?C?????1t?b W(a,b)?()dadb （2-7）f2??aa????在小波变换中，由于?(t)产生的小波?a,b(t)对被分析的信号起着观测窗的作用，所以
?(t)还应该遵守条件：
????? ?(t)dt?? （2-8）
故函数?(?)是连续变换的。换句话说，为了符合公式（2-4），?(?)在原点的值必须为0，即
???(0)??? ??(t)dt?0 （2-9）
为了确保重构信号的稳定性，除了需要符合公式（2-4），也需要函数?(t)的傅里叶变换符合条件（2-10）：
A???(2?)?B 0?A?B?? (2-10)
?j???2连续小波变换有5点重要的特性： 1. 平移不变性。 2. 线性性。 3. 伸缩共变性。 4. 自相似性。 5. 冗余性。
2.5离散小波变换
连续小波在实际应用时必须先经过离散化处理。但是该离散化处理对象只是连续的尺
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度变量a以及平移变量b，而对于时间变量t不做离散化处理，这方面与我们过去习惯的时间离散化有很大区别。
考虑连续小波函数：
?a,b(t)?a?12?t?b? ??? （2-11）
a??这里，b?R,a?R?,且a?0，假设a为正值，相容性条件变作
?C???0?(?)? d??? （2-12）
一般来说，连续小波的尺度变量a和平移变量b的离散化表达式为a?a0j,b?ka0jb0，这里j?Z，扩展步长a0?1是固定值。假设a0?1，则离散化小波函数?j,k(t)可写作
?j,k(t)?a0?jj?jt?ka?j0b022 ?()?a?(at?kb0) （2-13）00ja0离散化处理后，小波变换系数的表达式为
??Cj.k???? f(t)?*j,k(t)dt?f,?j,k （2-14）
信号的重构公式可写作
f(t)?C??Cj,k?j.k(t) （2-15）
????????C为常量。
然而，怎样选择a0和b0，才能提高重构信号精度呢？根据公式可发现，a0和b0应尽可能小，即网络点要尽量紧密。因为网络点越稀疏，图像处理使用到的小波函数就越少，信号重构精度就越低。
2.6二进制小波变换
在用小波变换分析非平稳信号时，我们可以对尺度变量和平移变量的大小进行调整，使得小波变换拥有类似于人眼变焦的能力。通常，我们采取的方法是使用二进制采样网格（动态网格即可），即a0=2, b0=1,单位网格的尺度长为2j，而平移为2jk，从而得到新的小波函数
?j.k(t)?2?j2?(2?jt?k) j,k?Z （2-16）
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这就是二进制小波。
二进制小波基于出色的变焦能力，因此它有“数字显微镜”的美称。例如，某观测信号的放大倍数为2?j，如果想更清晰的观察信号的小细节，那么使信号的放大倍数变大即可，即减小j的值；如果想知道信号更粗的内容，则减小信号的放大倍数，即增大j的值。
设函数?j.k(t)?L2(R),假设有常量A和常量B，且0?A?B??满足稳定性条件，即
A??2?j??B （2-17）
j?Z2则?j.k(x)就是二进制小波函数。A=B时，信号最稳定。而函数序列?W2jf(k)?f的二进制小波变换。
k?Z叫做
二进制小波变换和连续小波的离散变换相比是有区别的，二进制小波变换离散化的是尺度变量，而不是平移变量，因此二进制小波保持了信号在时间域上的波形不变。与正交小波基相比，这是二进制小波变换所独有的。
2.7多分辨率分析
1986年，Meyer通过将他自己提出的衰减性光滑函数作二进制伸缩与平移变换得到了
L2(R)的规范正交基，这也使得小波变换技术的发展渐入佳境。1988年S.Mallat提出了多分辨率分析的概念，从空间角度形象阐释了小波的多分辨率特性，结合过去所有小波基的构造方法，提出了正交小波基的快速算法，人们把该算法称为Mallat算法。Mallat算法在小波分析中具有非常重要的地位。
多分辨率分析作用对象只是信号的低频部分，而不是信号的高频部分。第一层分解的关系可表示为：S?A3?D3?D2?D1。而第二层分解则需要把第一层分解得到的低频部分A3分解成为第二层的低频分量A4以及高频分量D4，以下其他分解与A3的分解类似。
定义：在空间L2(R)中空间序列?Vj?j?Z的多分辨率分析具有如下特性： 1. 单调性：Vj?Vj?1，j?Z。
???22. 逼近性：Vj??0?,close?Vj??L(R)。
j?Z????3. 伸缩性：f(t)?Vj?f(2t)?Vj?1；伸缩性反应了尺度变化和空间变换相一致。 4. 平移不变形：k?Z时，有?j(2?j2t)?Vj??j(2?j2t?k)?Vj。
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5. Riesz基存在性：存在?t?V0,使得?(2对于条件5，可以证明。定义一个函数
??j2t?k)k?Z组成了Vj的规范正交基。
??j,k(t)?2?j2 (2-18) ?(2?jt?k) j,k?Z函数组??j,k(t)k?Z?规范正交。
设以Vj代表信号分解后的低频分量Aj，Wj代表信号分解后的高频分量Dj，那么Wj在
Vj?1里的正交补便是Vj，可表示为
Vj?Wj?Vj?1 j?Z （2-19）显然有Vj?Wj?Wj?1?????Wj?m?Vj?m （2-20） 则用有限数量的子空间的集合可以表示多分辨率分析中的子空间V0，那么
V0?V1?W1?V2?W2?W1?????VN?WN?WN?1?????W2?W1 （2-21）空间集?Wjj?Z?的性质：
1. f(t)?Wj?f(t?2jn)?Wjj j,n?Z 2. f(t)?Wj?f(2t)?Wj?1 j,n?Z
23. Pw,f?0，当j??，对任意f?L（R)和Vj一样，我们可以找到一个确定的函数
?(t)?W0来满足条件：j?Z时，函数集??j,nn?Z?组成了空间Wj的规范正交基。其中
?j,n(t)?2?j2?(2?jt?n)。
若令fj?Vj表示分辨率是2?j的函数f?L2(R)的近似值，而dj?Wj表示近似值与真值的误差，则由式（2.21）可得到：
f0?f1?fd?f2?d2?d1????fN+dN+dN?1????d2?d1 （2-22）又由于f?f0，上式可简化为
f?fN??di （2-23）
i?1N这表明任何函数f?L2(R)都可以通过分辨率为2?N时f的低频分量和分辨率
2?j(1?j?N)下f的高频分量进行完全重构，而Mallat塔式重构算法的本质与此相同。
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尺度函数?(t)具有一个非常有用的特性。因为?0,0(t)?V0?V?1,对V?1子空间基函数
??1,k(t)?22?(2t?k)展开可得?(t)??0,0(t)，把展开系数为设为hk，那么
?(t)?2?h(k)?(2t?k) （2-24）
???1上式称为尺度函数的双尺度方程。
另外，因为V?1?V0?W0,所以?(t)??0,0(t)?W0?W1，对V?1的子空间的正交基
??1,k(t)?22?(2t?k)展开可得小波基函数?(t)，将展开系数设为gk，
那么有2?g(k)?(2t?k) （2-25）
???1上式被称为小波函数的双尺度方程。
根据双尺度方程式（2.24）和（2.25）可发现通过对尺度函数?(t)的平移变换和伸缩变换可得到小波基?j,k(t)，它的构成可用于滤波器H(?)和G(?)的设计。
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