理论力学(陈世民)答案打印稿(4)

解：Mf??r0(2??gu)da?12mr?0

22gu3mr

L0?J?0?L0Mf1故：t??22gu3mr?0?mr23r?04gu

5． 如图，一矩莆匀质薄板ABCD，长为l，宽为d，质量为m。薄板绕竖直轴AB以初角速度?0转动，阻力与薄板表面垂直并与面积及速度的平方成正比，比例系数为k。问经过多少时间后，薄板的角速度减为初角速度的一半？ 解：Mf???d0rdf??d0r?kldr?3214?kld

24 ?L??Mf?t

????2kld2 得 ：md2?3411积分并代入：t?0,???0 得：t?0,???0 故??12?0时：t?4m3kld?02

6． 一质量为m，长为l的匀质细长杆，一端与固定点o光滑铰链。初始时刻杆竖

?直向上，尔后倒下。试分别求出此后杆绕铰链O转动的角速度?，作用于铰链上的

?力FN与杆转过的角度?的关系.

????1?1?解：（1）如右图。有：M?OC?mg?lel?(?mgk)??mglsin?i

22??dL1mglsin??2???ml?i??i

dt32??得：?d?d?d?dt??d?d??3gsin?2l

将d?移至右侧且积分得：

2 ???3gcos?1l10?3g?1?cos?l?

得：??3g?1?cos?l? ???（1） 设FN?F?e??Flel 则以质心C为参照点有：

F??l2???Jc?14112ml?23gsin?2l?18mglsin?

得：F???mgsin?

l2在el方向上：Fl?mgcos??m?2?得：Fl??12mg?3?5cos?? ??mg4

故：F?Flel?F?e????23?5cos?e?sin?e?? ??l???

7． 一匀质圆盘竖直地在一坡角为?的斜面上无滑动滚下。证明：（1）圆盘质心的加速度大小为gsin?；（2）圆盘和斜面间的磨擦系数至少为tan?。

3321证明：（1）T?12?C?mx21322?C2 （x?C?r??） mr???mx44以开始处为势能原点，则因无滑动： T?V?34d（T?V）3?C???Csin??0 ?mxxC?mgx则：

dt2xC?得：??23gsin?

23mgsin?

?C?mgxCsin??0 mx2xC?（2）依mgsin??f?m??而 f?mg?cos? 得： ??

13tan?

第六章 分析力学

[要点分析与总结]

1虚功原理：（平衡时）

理想条件下，力学系的平衡条件是各质 点上的主动力所作的虚功之和为零：

n ?W??i?1??Fi??ri?0

用广义坐标来表述：

?W?q?3n??i?1Fi?xi?q??0

2达朗贝尔原理（动力学下的虚功原理）：

n ?W??i?1???(Fi?mi??ri)??ri?0

〈析〉?r，?W均是在时间未变化（dt?0）时所设想的量，而广义坐标qa可以是角度，长度或其它的独立的坐标变量。

3拉格朗日方程

d(?T)??T?q??Q? (a?1,2,?3,s ,??dt?q在保守力下，取拉氏数 L?T?V 方程为：

d(?L)??L??qdt??q? ?0若拉氏数中L不显含广义坐标q?，则：

?L?q??0

即 循环积分： p??4微振动

?L???q?cons t非线性系统在小角度近似下，对拉氏方程的应用

5哈密顿函数与正则方程 （1） 哈密顿函数

s?? H(p,q,t)??L??p?q??1式中p???T???q??L???q为广义坐标动量

（2） 正则方程

???q?H?P??H?q??L?t???? p?H?t (a?1,2,?3,s ,??????若哈氏函数H中不显含广义坐标q?，则：p?H?q??0

即：循环积分 p???T???q?const

s在稳定条件下（H中不显含t），?p??q???2T则有能量积分：

??1H?T?V

6泊松括号

s [G,H]?7哈密顿原理与正则变换 （1）哈密顿原理

保守力系下：?定义：S?t2???1(?G?H?q??p???G?H?p??q?)

?t1Ldt?0

?t2t1Ldt为主函数

（3） 正则变换

通过某种变数的变换，找到新的函数H*，使正则方程的形式不变（相当于坐标变换）。

新的正则变量：

P?=P?(p1,p2?ps;q1,q2,?qs;t) Q?= Q?(p1,p2?ps;q1,q2,?qs;t)

正则变换的条件：

s?(p?dq???1s?P?dQ?)?(H?H)dtdq???U?Q?dQ?)??U?tdt

* ??(?q??1?U??dU依上亦可得：

p???U?q??U?Q??U?t P???*

H?H?U为母函数，当 P?，Q?，H不显含t时，

s以上条件等于：?(p?dq??P?dQ?)?dU

??1〈析〉：正则变换妙在不解方程而使问题出解。“得意忘形”到极点了。 [解题演示]

1． 一轻杆长为2l，一端光滑铰链于固定点O，另一端点及中点分别焊接有质量为m?和m的小球。杆可在铅直平面内绕固定点摆动。写出此力学 系统的拉格朗日函数，并求出其作微小摆动时的周期。

解：以O为参照点，取杆与竖直方向夹角为?。则有：

V??mglcos??(?m?g2lcos?)??(m?2m?)glcos?

T?11m?4m?2?222Jm????Jm???l?222m?4m?222l???(m?2m?)glcos?

拉氏函数： L?T?V?解拉氏方程：

d(?L?L2??)??(m?4m?)l??(m?2m?)glsin??0 ?dt????微振动，取近似sin???， 得： ????m?2m?g? ?m?4m?l积分： ??Acos(m?2m?gm?4m?lt)?B （A，B为积分常数）

则：T?周期??2???2?m?2m?gm?4m?l

2． 一质量为m，半径为r的小圆住体，置于一半径为R的大圆柱面的内侧作纯

滚动。写出小圆柱体的拉格朗日函数，并求出在最低点附近小圆柱体作微小振动时的周期

解：以O为参照点：

V??mg(R?r)cos?

? 1332?22?2T?J()??mr[(R?r)]?m(R?r)?2r22r41?2则：L?T?V?

d(3422m(R?r)???mg(R?r)cos?

?L?L32??)??m(R?r)??dt?????2mg(?Rr)?si?n 0得：??Asin[2g3(R?r)t]?B

即：T?2???2?3(R?r)2g

3． 小球1和小球2的质量分别为m1和m2，用绳子相连，绳子穿过光滑水平桌面上的小孔。小球1在桌面上运动，小球2则垂直悬挂在桌面下。写出此力学系的拉格朗日函数和所有的第一积分。设绳长为l。 解：设m1到孔的距离为r。以孔为参照点有：

T?12?2?(m1?m2)r1222?1??r?2?r?） m1r?? （此式中用到r V??m2g(l?r) L?T?V?12??(m1?m2)r?L??2122?2mr??mg2(l?r) 1（1）L中不含积分?，循环积分：

2?m1r???L0

（2）能量表达式中不含t，能量积分： E??t0d(T?V)dt?T?V?21?2?(m1?m2)r212?2mr??mg2l(?r )14． 长为2l，质量为m的匀质棒，两端分别用长都为s的轻绳垂直悬挂。今若突

然将其中一根绳子剪断，用拉格朗格日方程求出棒下落的运动微分方程。 解：参量及坐标如右图所示。则：

???rC??(scos??lcos?)j?[lsin(??)?ssin?]i

T?1??2?1J??2 mrCC22?1

?1?)2?(lcos????scos???)2]?ml2??2m[(ssin????lcos??26232?2?ml?12

22??cos(???)ms???msl?? V??mg(sco?s?故：L?T?V ?232?2?ml?lc?os

1222??cos(???)?mg(scos??lcos?) ms???msl???d??dt得拉氏方程：?d???dt?L?L)??0?????

?L?L()??0?????(微分方程为：

???msl??ms2???cos(???)?msl??2sin(???)?mgssin??0? ?422??????msl?cos(???)?msl?sin(???)?mgssin??0?ml??3

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