理论力学(陈世民)答案打印稿

第零章 数学准备

一 泰勒展开式 1 二项式的展开

f?x???1?x??1?mx+2 一般函数的展开 f?x??f?x0??f??x0?1！mm?m-1?2！x?2m?m-1??m-2?3！x??

3?x-x0??f???x0?2！?x-x0?2?f????x0?3!?x-x0?33??

特别:x0?0时, f?x??f?0??3 二元函数的展开(x=y=0处) ??f f?x，y??f?0?????xf??0?1！x?f???0?2！x?2f????0?3!x??

2?1??fx+y???200??x2！?y???f?x?2xy+20y??? 00??x?y?y?2?f2?f22 评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线

性问题的转化。在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。

二 常微分方程

1

一阶非齐次常微分方程：

y+P?x?y=Q?x?

?P?x?dx??P?x?dxdx? c?Qxe通解：y?e????????注：??P?x?dx,?Q?x?e?2

P?x?dxdx积分时不带任意常数，Q?x?可为常数。

一个特殊二阶微分方程

2 ??y??Ay?B 通解：y=Kcos?Ax+?0??BA2

注：K,?0为由初始条件决定的常量 3

二阶非齐次常微分方程

??by?f?x? ??y?ay* 通解：y?y?y；y为对应齐次方程的特解，y为非齐次方程的一个特解。

* 非齐次方程的一个特解 （1） 对应齐次方程

????by?0 y?ay设y?e?x得特征方程?2?a??b?0。解出特解为?1，?2。 *若?1??2?R则y1?e?x，y2?e?x；y?c1e?1x?c2e?2x

12*若?1??2?R则y1?e?x，y2?xe?x； y?e?1x(c1?xc2)

11??e?xcos?x，y??e?xsin?x；*若?12????i则y12y?e?x(c1cos?x?c2sin?x)

（2） 若f?x??a0x2?b0x?c0为二次多项式

*b?0时，可设y*?Ax2?Bx?C *b?0时，可设y*?Ax3?Bx2?Cx?D

注：以上c1,c2,A,B,C,D均为常数，由初始条件决定。

三 矢量

1 矢量的标积

???? A?B=B?A=ABcos?=AxBx+AyBy+AzBz

注：常用于一矢量在一方向上的投影 2 矢量的矢积

????ijk???????? A?B=-(B?A)=ABsin?en=?AxAyAz?

?BByBz?x????? ?(AxBy?AzBy)i?(AzBx?AxBz)j?(AxBy?AyBx)k 四 矩阵

此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。 ?a11x1?a12x2?a13x3?0? ?a21x1?a22x2?a23x3?0 ?ax?ax?ax?0322333?311?a11?令D?a21??a?31a12a22a32a13??a23 ?a33??*D=0时，方程组有非零解 *D?0时，方程只有零解

第一章 牛顿力学的基本定律

【解题演示】

1 细杆OL绕固定点O以匀角速率?转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动，O点与钢丝间的垂直距离为d，如图所示。求小环的速度?和加速度a。 解：依几何关系知：x?dtan? ??i? 又因为：??x??d2?x2?i??i 2cos?dd???22???2(d?x)x2???i? 故：a???2xx?i 2dd3 一半径为r的圆盘以匀角深度ω在一半经为R的固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上M点的深度υ和加速度α（用参量θ，Ψ表示）。

???解：依题知：????rR?r????rR?r

?且O点处：ek?cos(???)er?sin(???)e? 则：

???rM?rO?O?rOM???(R?r)eR?rer?????rM

???[(R?r)cos(???)?r]er?(R?r)sin(???)e???????(??)sin(???)e?e?)cos(???)e?sin(???)e???r???[(R?r)cos(???)?r]??(R?r)(????(R?r)?Mr??r????r?sin(???)er?r?[1?cos(???)]e?

???a??????????)cos(???)er?r???sin(???)e??r?(?????)sin(???)e??r???[1?cos(???)]er?r?(?????cos(???)er?r???sin(???)e??r???er?r???????r?R??rcos(???)??eR?rr?2?r??rsin(???)e??

12 竖直上抛一小球，设空气阻力恒定。证明小球上升的时间比下落返回至原地点的时间短。 解：设空气阻力为f，且小球初速为?，质量为没，则有：

上升时间：t1??g?fm2

上升高度：h??2(g?f

m)下落时间：t2?2ha2??01g?f22 m2得：

t1t2g?f22?mm)2(g?f?g?fg?fm?1 m 即得证。

14 将一质量为m的质点以初速度?0与水平线成?角抛出，此质点受到的空气阻力是其速度的mk倍，这里k是常数。试求当质点的速度与水平线之间的夹角又为?角度时所需时间。

?x??mk?x,m??y??mg?mk?y 解：依牛顿第二运动定律有：m? 积分并代入初始条件：t?0时：?0x??0sin?,?0y??0cos?

解得：?x??0cos?e当再次夹角为?时：

?kt,?y?(?0sin??gk)e?kt?gk

?y?x??tan?

可解出：t?1kln(1?2?0ksin?g)

19 一质点从一光滑圆柱表面最高处，自静止下滑，如图所示。问质点滑至何处将脱离圆柱表面？

1?22mgr1?cos??mr?????解：将脱离时滑过相应角度为?，此时满足：? 2?mgr??2?mgrcos??可解得：??arccos23

第二章 有心运动和两体问题

斗转星移，粒子变迁，乃至整个宇宙的各种运动均受着“上帝”的安排----力的大小与距离平方成反比定律。在此解析几何的空间曲线将一展风情。 【要点分析与总结】 1有心力和有心运动

??r? F?F?r??F?r?er

r（1） 有心运动的三个特征：平面运动

?M?0) 动量守恒(

机械能守恒(E?T?V)

（2） 运动微分方程

2?m(??r?r??)?F?r?? ??????F?mr??2r????F?r??2?r?r?????m??r2???（hh为常量）? 可导出： ?1

22?2?（机械能守恒）?m(r?r?)?V?r??E2?2?122du?mhu(?u)?F(比内公式,u?)?2?u?d?r? 〈析〉h?L0m是一个恒量，解题时应充分利用。恰当运用会使你绝处逢生，可谓

是柳暗花明又一村的大门。

2 距离平方反比引力作用下的质点运动

F??kr22??ku

222mh可由比内公式导出：r?k1?mh22?p1?ecos(???0)

k2Acos(???0) （p?mh近日点：rm?2kp2,e?pA,A,?0为由初始条件决定的常量）

1?e 远日点：rM?422p1?e

且 E?T?V?k2mh(e?1)

可得半长轴长：a?12(rm?rM)?p1?e2??k22E

〈析〉用a来求E，进而得出运动规律，即便是开普勒三定律亦是须臾即得。

4 距离平方反比斥力作用下的质点运动（粒子散射）的双曲线模型 F?kr22 （k2?Qq4??0）

可导出： r??p1?ecos(???0)?1??e?

散射角：????2arccos??

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