理论力学(陈世民)答案打印稿(3)

得在法线方向：mr??2?FN?m?2r(1?cos?)?2mr???

第四章 质点组动力学

以彼之道，还施彼身。单身独影自是无风不起浪,无论是亲朋相会,还是冤家聚头,定有故事流传.代数方程在此将笑傲江湖. 【要点分析与总结】 1 质点组

N?（1） 质心： rc??i?1?mirim

?对于连续体: rc??rdm?m

N??e??（2） 内力与外力: mi??ri?Fi??i?1?Fij

??且内力满足: Fij??Fji

2 质点组运动的动量、角动量、动能

?????p（1） 动量 p?mr cc?（2） 角动量 L?N?i?1????????ri??miri?rc?mrc?Lc??Lc

（3） 动能 T?3 质点组运动的基本定理

（1） 动量定理：

?dPdtN12??2?mrcN?2i?11???2?T?miricN?T?

ii?1??i?1??e????miri?F

???e?????质心定理：mrc?P?F

（2） 角动量定理：

?dLdt??M

?dLcdt?dLc?dt??M?e?

??Mc?

N（3） 动能定理：dT??i?1??Fi?dri?NNN??i?1j?1??Fij?dri

对质心：dT?????Fi?dri???i,j?1;i?j??Fij?dr?

???dm4 开放的质点组： m??u????F

dtdt?d??d?m?? 或

dt??dm?u?F dt<析>此章中许多等式的推导多用到分部积分与等量代换.在本章的习题解答中多用到动量定理,角动量定理与机械能守恒定理的联立方程组,有时质心定理的横空出世会救你于水深

火热之中. 【解题演示】

1在一半径为r的圆圈上截取一段长为s的圆弧，求出这段圆弧的质心位置。 解：如右图所示建立坐标系 。则：?0?s???设rc?xci?ycj 有：

s2r

??2srsin?ds?xc?2s????0??0rdcos?s?2?rs2cos??0??0?0??2sds?2s

???2srcos?ds?yc?2s????00rdsin?s?2r2??2sds?2ssin??0??0?2rs2sin?0?2rs2sins2r则质心位置为(0,2rs2sins2r)，

2rss2r距顶点o?的位置为r?yc?r(1?sin)

2．求出半径为r的匀质半球的质心位置。

解：如右图所示，取一截面元与底面相距dsin?，则其质量：

2(s?in dm???(rsin?)dr

)则：质心与底面距离

?d??mdidmm??20rm???(rsin?)d(rsin?)2?23

?r3 ?3r4??20cos?dsin??223r4?(sin?2?0212?sin?2)?043r8

6．重量为W的大楔子放在光滑的水平面上，在它的斜面上放置一与它相似的小楔子。小楔了的重量是P。大小楔子的水平边长分别为a和b。小楔子自大楔子顶部静止下滑，求小楔子完全下滑到水平面时，大小楔子完全下滑到水平面时，大小楔子分别移动了多少距离？ 解：依图设大小楔子水平位移分别为xW,xP 且依水平方向动量守恒： ????Px??0 WxWP??对其积分得：WxW?PxP?0 且有xW?xP?(b?a)i

?代入上式得：xW??PW?P??(a?b)i,xP?WW?P?(a?b)i

?????9．质量为m的物体沿一直角劈的光滑斜面下滑，直角劈的质量为m?倾角为?，置于光滑

?m；x?p；x水平面上。求（1）物体水平方向的加速度?（2）劈的加速度?（3）劈对物体的反作??用力F1和水平面对劈的反作用力F2。

解：如右图所示，建立各方向矢量，设劈与物体间的与反作用力为F1,F1?，则：?F1?F1??F1sin??F1sin?????????xm??i??i,xm?i?i??*1 M?M?m?m?xm???xM?则物体相对于尖劈的水平加速度：ax???F1sin?

mm?F(?cos?)Fcos??g??g?

mmm?m??????在ez方向上，物体受F1?与mg的作用：??(g??tan??(Fcos?m)依几何关系：

??axm?m?mm?

F1sin?)?mm?gcos??en 解得：F1?m??msin???xm?F1sin?mm???m?gcos?sin?m??msin????2代入*1式可得：

??xM??F1sin?mgcos?sin?m??msin??2

水平面对劈的反作用力F2?m?g(?ez)?F1?cos?(?ez) ??(m?g? ??m?gcos?m??msin?22??)ez

(m??m)mg?ez 2?m?msin?第五张 刚体力学

[解题演示]

1． 一长为l的棒AB，靠在半径为r的半圆形柱面上，如图所示。今A点以恒定速度?0沿水平线运动。试求:(1)B点的速度?B;(2)画出棒的瞬时转动中心的位置. 解：如右图所示建立坐标系xoy，依图知:

?rcos???dr???()i??i??0i rA?2dtsin?sin???得: ???

?0sin?rcos?2

????B??A??k?rBA ????0sin2??????0i?k?(?lcos?i?lsin?j)rcos? 32??lsin?lsin???0(1?)i??0jrcos?r瞬心S满足： rS?rA?r??1?2??(???A)

??1???i?2(?k??0i)sin???

r?rcos???i?j2sin?sin?2． 一轮的半径为r，竖直放置于水平面上作无滑动地滚动，轮心以恒定速度?0前进。求轮缘上任一点（该点处的轮辐与水平线成?角）的速度和加速度。 解：如右图所示建立坐标系xoy, 则:

??????? ?C??0i,?A??C??(?k)?(?rj)

? 得：?????0r

????故：?B??C??(?k)?(rcos?i?rsin?j)

??? ??0(1?sin?)i??0cos?j

??r???(??r) aB?aC??BCBC???????0?0??(?k)?[?(?k)?(rcos?i?rsin?j)]???????

???0r2??(cos?i?sin?j)

3． 高为h，顶角为2?的圆锥，在一平面上无滑动的滚动。已知圆锥轴线以恒定角速度?绕过顶点的铅直顽固不化转动。求（1）圆锥的角速度；（2）锥体底面上最高点的速度；（3）圆锥的角加速度。

解：如右图所示建立坐标系oxyz，并取定OABC点。

???（1）?A??O??k?(hcos?j?hsin?k)

????0??hcos?i??? ??B??j?hsin?k

??0??hsin?i? 得：????cot?j

?（2）rBC?hcos??sin2?k?(hcos??cos2??hcos?)j

?????2hsin?k?htan?sin?j

则：?A??B???rBA

????0?(??cot?)j?(2hsin?k?htan?sin?j) ???2?hcos?i????（3）

d?dt????cot??djdt???2???cot?(?k?j)??cot?i

4． 一半径为r的匀质圆盘，平船在粗糙的水平桌面上，绕通过其中心的竖直轴转动，初始时刻圆盘的角速度大小为?0。已知圆盘与桌面间的磨擦系数为?。问经过多少时间圆盘将停止转动？

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