理论力学(陈世民)答案打印稿(2)

???4??0m?0 cos????

2Qq??2卢瑟福散射公式：

d?d??144??0(Qq)21sin4?2

（式中散射截面：d??2??d?，立体角：d??2?sin?d?将散射角公式两侧微分并代入即得散射公式）

4 质点运动轨道的讨论

（1） 圆轨道的稳定条件

dU?r?dr?0,dU?r?dr22?0

（等效势能：U?r??dV?r?drmh2r22?V?r?）

2n再利用F?r???可导出：n?3 （F?kr）

（2） 轨道的轨迹曲线

?E?0(e?1)??椭圆? ?E?0 (e?1)??抛物线

?E?0(e?1)??双曲线?〈析〉通过E与0的关系，即可判断天体运动的轨迹曲线

【解题演示】

1 质点在有心力F?r?的作用下运动，质点速度的大小为??a时r?r0，速度与矢量间夹角为?。求质点的轨道方程。

?r??????re?r?r??e? 且?cot? 解:??rr????又因为 rdr?? d?drr?cot?d?

r，这里a是常数。已知??0故上式转化成

积分并代入初始条件得 lnrr0??co?t

?co?te 即： r?r 03 月球的质量和半径分别是m?0.0123me和R?0.273Re，其中me,Re 分别是地球的质

量和半径。试求（1）月球表面处的重力加速度；（2）若在月球表面发射火箭，使之脱离月球，则火箭的发射速度至少是多少？ 解：（1）g?GMR2?G(0.0123me)(0.273Re)12m?2?0.0123Gme(0.273)2Re2?0.165g地?1.62ms2

（2）脱离月球初动能：

得：V?2?GMmR?mgR

3?2.38?10m2gR?62?1.62?0.273?6.4?10mss

10一彗星在近日点处离太阳的距离是地球轨道半径的一半（假设地球作圆轨道运动），在该处彗星的速率是地球轨道速率的二倍。试从守恒定理出发。（1）求出慧星轨道与地球轨道相交处慧星的速率（2）问此慧星的轨道是椭圆，抛物线还是又曲线？为什么？（3）它能脱离太阳系吗？

解：（1）设地球绕日轨道半径为R,速率为?0,此慧星质量为m,速率为?,有：

12m?R?2GMsmR?12m?R?22GMsmR2?2m?0?22GMsmR

得：?R?2?0?2GMs2R?2?0?2?30kms?42.4kms

（2）此慧星的能量 E?12m?R?22GMsmR2?2m(?0?2GMsR)?0

即：其轨道是抛物线

（3）在抛物线型轨道中：r???即能脱离太阳系。

15．在光滑水平桌面上，两个质量分别为m,m?的质点由一不可伸长的绳联结，绳穿过固定在水平桌面上的光滑小环，如图所示。若m与小环相距d时获得垂直于绳的初速度，试写出质点m的轨道微分方程，并解出它的运动轨道方程。

r????r???解:由于小环光滑,则: ??F?r?m?2故比内方程可写为：

2 ?mhu(22dud?22?u)??m???r?m?hu2dud?2

得：

dud?22??mm?m?u

即： r?1u?Acos(1mm?m?

?)又因为??0时r?d，得：r?cos(dmm?m? ?)（ 注:此处 mr????m?r????F?r? ）

16．质量为m质点A，轩于光滑的水平桌面上运动，如图所示。此质点系有一根轻绳，绳子穿过桌面O处的光滑小孔下垂，并挂有一同样质量的质点B。若质点A在桌面上离小孔距离为d处，沿垂直于绳子方向以初速率??9gd离必在d到3d之间。

16解:设绳对B的拉力为T，A距孔为r，有

2?r??r???T?m?? ?

??r??T?mg?m2可得 2??r?r????g

?2?12射出，证明质点在此后运动离O点距

??代入：h?r2???d9gd23?2?121?9gd?2??? 2???drdr3得： 2??r?hr?r?r?g （注：??）

???积分得：r29gd4r23?gr?c

9dg4??0,r?d 得：c?gd?代入初始条件r

???故: r29gd4r23?gr?gd?9dg4

??9g4rg4r22(49r?33

??1322dr?d)923

(4r?13dr?9d)34可解出 a?r?3a， r??即得证。

此题用拉氏方法更简单。

a（无意义，舍）

第三章 非惯性参考系

【解题演示】

（3） 一圆盘以匀角速度?绕过圆心并与圆盘面垂直的轴转动。一质点M沿圆盘上的弦，

?以恒定的相对速度u运动，如图所示。已知该弦离盘心的距离为b，求在以地面为参考系时，质点M的速度和加速度（表示成质点M离弦中点的距离x的函数）.

解:设M的速度,加速度分别为?和a,依题意知: ???????r??t?

?????ui??k?(x?ib?j) ???(u?b?)?i?xi???????? a?a??ae?ac

???????0?0?0??k?[?k?(xi?bj)]?2?k?ui???22 ???xi??bj?2?uj

??222???xi??b?(2?u??b)j????5一楔子，顶角为?，以匀加速度a0沿水平方向加速度运动。质量为m的质点沿楔子

???a的光滑斜面滑下，如图所示。求质点相对于楔子的加速度及质点对楔子的压力F.

?解:依a?a0?a? 得: ???? a??a?a?gs?in0?i0?a?cos?0j(?ac?os0?j?a?sin?? ?i)?0(gs?inacos)i??????????又因为在平动非惯性中:ma??F?mat. 得:F?m(a0?a?)?mg

?????? F?m(gsin?i?a0cos?j)?m(?gcos?j?gsin?i)?m(gcos??a0sin?)j ????则楔子对斜面的压力 F??F??m(gcos??a0sin?)j

7一单摆摆长为l，悬挂点O?在水平线上作简谐振动：x?asinpt。这里x是悬挂点离

开水平线上的固定点O的距离，如图所示。开始时摆锤沿铅直下垂，相对于O?的速

度为零。证明单摆此后的微小振动规律为 ??ap222l(k?p)(sinpt?pksinkt),式中k?2gl

解:以摆锤为原点建立坐标系ence?,如右图,则：C相对于O?点运动状况：

??Xte?g?e?ap a?????????2sipnt???co?s?eg?s?in??le（利用：ea?a??at） ?2??????再利用微振动cos??1,sin???，并令k?gl有：

????k?? ?2apl2sinpt

可解得: ??Asin(kt??0)?ap222l(k?p)sinpt

并代入初始条件t?0,?????0

ap222得：?0?0，A?? 故:

积分并代入,得: ??l(k?p)

ap222l(k?p)(sinpt?pksinkt)

12质量为m的小环，套在半径为r的光滑圆圈上，若圆圈在水平面内以匀角速度?绕

其圆周上的一点转动。试分别写出小环沿圆圈切线方向和法线方向的运动微分方程（以小环相对于圆圈绕圆心转过的角度?为参量写出），设圆圈对小环的作用力大小以FN表示，并可略去小环重力。

???解：如右图所示建立坐标系,则：r??r(1?cos?)i?rsin?j

???22???????a??r(cos???sin??)i?r(cos???sin??)j ??? ??????22?ae?at???r????(??r)?0?0??r(1?cos?)i??rsin?j????????ac?2?????2?r?sin?j?2?r?cos?i????rsin???i?rcos???j??? 则：a?ac?ae?a?

?22???? ?[?r(cos???sin??)??r(1?cos?)?2?r?cos?]i ???sin???)??rsin??2?r??sin?]j ?[r(cos??22????? ?a?e??anen 又因为：a????FN???????en?0e?,i??sin?e??cos?en，j?cos?e??sin?en m???????2rsin??0 在e?方向投影：a??r?????sin??0 得切线方向：?2在en方向投影：an??r????r(1?cos?)?2?r????22?FNm

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