2011年高考数学试题分类汇编2——函数与导数(7)

95.（湖北理21）（Ⅰ）已知函数（Ⅱ）设

f(x)?lnx?x?1，x?(0,??)，求函数f(x)的最大值；

ak,bk(k?1,2…，n)均为正数，证明：

bnb1b2aa?aab?ab?abb?b?bn?1； 22…nn?12（1）若11…n，则121222bnb1b2b?bbbb?bb?b?b12n2?12…+n。 （2）若1…n=1，则n?1f/(x)??1?0?x?1x解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)，令，

f(x)在(0,1)上递增，在(1,??)上递减，故函数f(x)在x?1处取得最大值f(1)?0

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当x?(0,??)时有

f(x)?f(1)?0即lnx?x?1，

nbkkna,b?0，∴∵kknnkkbk?lnak?bk(ak?1),(k?1,2,?n)??lna??bk(ak?1)k?1k?1

∵

?ab??b?lnakk?1k?1n∴

bkk?0k?1bnbnb1b2b1b2ln(aa?a)?0?aa?a?1 12n12n即

n111ak?,(k?1,2,?,n)akbk???akbk?1bb?b?nbnk?1n，令k（2）①先证，则

b1b212bnn1b11b211)()?()bn?1?b1b2?nb1?b2???bn?nbnnb1nb2nbnb1b2?bn由（1）知

(bnb2b1b1b2?bn?∴

1n；

222bnb1b2b?bbbb?b12n?12…+n，记②再证

nS??bk2,ak?k?1nbk,(k?1,2,?,n)S

n1n2akbk??bk?1??bk?Sk?1k?1则k?1于是由（1）得

所以

bbbbnb2(1)b1(2)b2?(n)bn?1?b1b1b2?bn?Sb1?b2???bn?SSSS

222bnb2b?bbb1b1b2?bn?12n…+

。综合①②，（2）得证

322fx()?x?2ax?bxa?gx()?x?3x?296.（湖北文20）设函数，，其中x?R，a、

b为常数，已知曲线y?f(x)与y?g(x)在点（2,0）处有相同的切线l。

第 31 页 共 59 页

(I) 求a、b的值，并写出切线l的方程； (II)若方程

x?x2，且对任意的xxf()x?g()x?mx有三个互不相同的实根0、、2，其中1，

x??x1,x2?fx()?g(x)?m(x?1)恒成立，求实数m的取值范围。

/2/f(x)?3x?4ax?b,g(x)?2x?3，解：(I)由于曲线曲线y?f(x)与y?g(x)在点（2,0）//f(2)?g(2)?0,f(2)?g(2)?1，由此解得：a??2,b?5； 处有相同的切线，故有

切线l的方程：x?y?2?0‘ (II)由(I)得相等的根

f(x)?g(x)?x3?3x2?2x，依题意得：方程x(x2?3x?2?m)?0有三个互不

0,x1,x2，故x1,x2是方程x2?3x?2?m?0的两个相异实根，所以 ??9?4(2?m)?0?m??14；

又对任意的

x??x1,x2?，

x?x1时， fx()?g(x)?m(x?1)恒成立，特别地，取

f(x1)?g(x1)?mx1??m成立，即0??m?m?0，由韦达定理知：

?x1,x2?，有x1?x2?3?0,x1x2?2?m?0，故0?x1?x2，对任意的x?x?x2?0,x?x1?0,x?0，则：

f(x)?g(x)?mx?x(x?x1)(x?x2)?0；又f(x1)?g(x1)?mx1?0

所以函数在

x??x1,x2?上的最大值为0，于是当

?x1,x2?，m?0时对任意的x?1(?,0)fx()?g(x)?m(x?1)恒成立；综上：m的取值范围是4。 1f(x)?x??alnx(a?R).x97.（湖南文22）设函数

(I)讨论

f(x)的单调性；

f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，

（II）若

问：是否存在a，使得k?2?a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

第 32 页 共 59 页

解析：（I）

f(x)的定义域为(0,??).

1ax2?ax?1f'(x)?1?2??xxx2

令g(x)?x2?ax?1,其判别式??a2?4.

f'(x)?0,故f(x)在(0,??)上单调递增．

(0,??)上??)上，f'(x)?0，故f(x)在当|a|?2时,??0,,?>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0当a??2时,单调递增．

a?a2?4a?a2?4x1?,x2?a?2时,?>0,g(x)=022当的两根为，

当故

0?x?x1时， f'(x)?0；当x1?x?x2时， f'(x)?0；当x?x2时， f'(x)?0，f(x)分别在(0,x1),(x2,??)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减．

（II）由（I）知，a?2．

f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?因为

x1?x2?a(lnx1?lnx2)x1x2，所以

k?f(x1)?f(x2)lnx?lnx21?1??a?1x1?x2x1x2x1?x2

lnx?lnx2k?2?a?1xx?1．于是x1?x2

又由(I)知，12lnx1?lnx2?1lnx1?lnx2?x1?x2．亦即 x1?x2若存在a，使得k?2?a.则．即x2?1?2lnx2?0(x2?1)(*)x2[来源: ]

1h(t)?t??2lntx?1，所以t再由（I）知，函数在(0,??)上单调递增，而2x2?11?2lnx2?1??2ln1?0.x21这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k?2?a.

98.（湖南理20）如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v(v?0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c?R)。E移动时单位时间内的淋雨量包

第 33 页 共 59 页

括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与

v?c×S成正比，

11比例系数为10；（2）其它面的淋雨量之和，其值为2，记y为E移动过程中的总淋雨量，

3当移动距离d=100，面积S=2时。

（Ⅰ）写出y的表达式

（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。

31|v?c|?2， 解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为20y?故

100315(|v?c|?)?(3|v?c|?10)v202v.

55(3c?10)y?(3c?3v?10)??15；vv（II）由(I)知，当0?v?c时， 55(10?3c)y?(3v?3c?10)??15.c?v?10vv当时，

?5(3c?10)?15,0?v?c??vy???5(10?3c)?15,c?v?10?v?故。

0?c?(1)当

103cymin?20?3时，y是关于v的减函数.故当v?10时，2。

10?c?5,10]上，y是关于v的增函数；(2) 当3时，在(0,c]上，y是关于v的减函数；在(c故当v?c时，

ymin?50c。

第 34 页 共 59 页

99.（湖南理22） 已知函数 （Ⅰ）求函数h (x)=

f(x) =x3，g (x)=x+x。

f(x)-g (x)的零点个数，并说明理由；

*{a}(n?N)满足a1?a(a?0)，f(an?1)?g(an)，证明：存在常数M,使

（Ⅱ）设数列n得对于任意的n?N，都有

*an≤ M.

3h(x)?x?x?x知，x?[0?,?，而h(0?)，0且解析：（I）由

h(1?)??1h0?,?(2?)，则6x?02为h(0x)的一个零点，且h(x)在（，12）内有零点，

因此h(x)至少有两个零点

13??1?1112h'(x)?3x?1?x2?'(x)?6x?x2?(x)?3x?1?x2242，则解法1：，记。

2当x?(0,??)时，?'(x)?0，因此?(x)在(0,??)上单调递增，则?(x)在(0,??)内至多

只有一个零点。又因为

?(1)?0,?(33)?0(,1)3，则?(x)在3内有零点，所以?(x)在

(0,??)内有且只有一个零点。记此零点为x1，则当x?(0,x1)时，?(x)??'(x1)?0；当

x?(x1,??)时，?(x)??'(x1)?0；

所以， 当当

x?(0,x1)时，h(x)单调递减，而h(0)?0，则h(x)在(0,x1]内无零点； x?(x1,??)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1,??)内至多只有一个零点；

从而h(x)在(0,??)内至多只有一个零点。综上所述，h(x)有且只有两个零点。

1?3?'(x)?2x?x2222解法2：h(x)?x(x?1?x)，记?(x)?x?1?x，则。

1?21?2当x?(0,??)时，?'(x)?0，因此?(x)在(0,??)上单调递增，则?(x)在(0,??)内至多只有一个零点。因此h(x)在(0,??)内也至多只有一个零点， 综上所述，h(x)有且只有两个零点。

x03?x0?x0xh(x)0（II）记的正零点为，即。

第 35 页 共 59 页

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2011年高考数学试题分类汇编2——函数与导数(7)在线全文阅读。