2011年高考数学试题分类汇编2——函数与导数(5)

?lgx,x?0f(x)??x?10,x?0，则f(f(?2))?______. 72.（陕西文11）设

【答案】?2

【分析】由x??2算起，先判断x的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断

自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．

f(?2)作为

【解析】∵

x??2?0，∴

f(?2)?10?2?1?0?2?2f(10)?lg10??2，即100，所以

f(f(?2))??2．

??lgxf(x)??a2x?3tdt???073.（陕西理11）设

x?0x?0，若

f(f(1))?1，则a? ．

【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从x?1算起是解答本题的突破口. 【解析】因为x?1?0，所以

f(1)?lg1?0，又因为

f(x)?x??3t2dt?x?a30a，

33f(0)?a所以，所以a?1，a?1．

【答案】1

2n?Nx?4x?n?0有整数根的充要条件是?74.（陕西理12）设，一元二次方程

n? ．

【答案】3或4

【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．

【解析】

x?4?16?4n?2?4?n，2因为x是整数，即2?4?n为整数，所以4?nn?N?，取n?1,2,3,4，验证可知n?3,4符合题意；反之

为整数，且n?4，又因为

n?3,4时，可推出一元二次方程x2?4x?n?0有整数根．

75.（山东理16）已知函数f（x）=

logax?x?b(a＞0，且a?1).当2＜a＜3＜b＜4时，函

*x?(n,n?1),n?N,则n= . f（x）0数的零点

【答案】5 【解析】方程

logax?x?b(a＞0，且a?1)=0的根为x0,即函数y?logax(2?a?3)的图

*x0x?(n,n?1),n?Ny?x?b(3?b?4)0象与函数的交点横坐标为,且,结合图

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象,因为当

x?a(2?a?3)时,y?1,此时对应直线上y?1的点的横坐标

x?1?b?(4,5);当y?2时, 对数函数y?logax(2?a?3)的图象上点的横坐标

x?(4,9),直线y?x?b(3?b?4)的图象上点的横坐标x?(5,6),故所求的n?5.

xf(x)?e?2x?a有零点，则a的取值范围是___________． 76.（辽宁文16）已知函数

【答案】(??,2ln2?2] 77.（江苏2）函数

f(x)?log5(2x?1)的单调增区间是__________

1（-，+?）【答案】2

1x?(?,??),y?logu(0,??)?.u?2x?125【解析】在在大于零,且增.

本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性质，容易题

78.（江苏8）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________.

【答案】4.

f(x)?2x的图象交

422PQ?(2x)2?()2?4(x,)(?x,?)xx，x，【解析】设经过原点的直线与函数的交点为则.

本题主要考查幂函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用,两点间距

离公式以及基本不等式，中档题.

?2x?a,x?1f(x)????x?2a,x?1，若f(1?a)?f(1?a)，则79.（江苏11）已知实数a?0，函数

a的值为________

a??【答案】

34

【解析】 ?a?0.

a?0,2?2a?a??1?a?2a,a??32，不符合； 34 .

a?0,?1?a?2a?2?2a?a,a??第 22 页 共 59 页

本题主要考查函数概念，函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论，中档题.

xxOyf(x)?e(x?0)的图象上的动80.（江苏12）在平面直角坐标系中，已知点P是函数

点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________

11(e?)e 【答案】2x0x0x0x0P(x,e),l:y?e?e(x?x),?M(0,(1?x)e)，过点P作l的垂线 000【解析】设则

y?ex0??e?x0(x?x0),?N(0,ex0?x0e?x0)，

11?t?[(1?x0)ex0?ex0?x0e?x0]?ex0?x0(e?x0?ex0)22

1t??(ex0?e?x0)(1?x0)2，所以，t在(0,1)上单调增，在(1,??)单调减， 11?x0?1,tmax?(e?)2e.

本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用

导数研究函数,导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，运算求解能力,综合应用有关知识的能力,本题属难题. 81.（湖南文12）已知【答案】6 【解析】g(?2)?f(x)为奇函数，g(x)?f(x)?9,g(?2)?3,则f(2)? ．

f(?2)?9?3,则f(?2)??6，又f(x)为奇函数，所以

f(2)??f(?2)?6。

82.（湖北文15）里氏震级M的计算公式为：

M?lgA?lgA0，其中A是测震仪记录的地

震曲线的最大振幅

是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。 【答案】6，10000

3f(x)?xcosx?1.若f(a)?11，则f(?a)? ． 83.（广东文12）设函数

【答案】-9

32f(x)?x?3x?1在x? 处取得极小值. 84.（广东理12）函数

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【答案】

解析:f'(x)?3x2?6x?3x(x?2),?f(x)的单调递增区间为:(??,0),(2,??),递减区间为(0,2),?f(x)在x?2处取得极小值.?2x?2?,f(x)??x3?(x?1),x?2，若关于x的方程f(x)?k有两个不同的 ?85.（北京理13）已知函数

实根，则实数k的取值范围是________.

【答案】

2f(x)?(x?2)3f(x)?(x?1)(x?2)单调递增且值域x【解析】单调递减且值域为(0,1]，

为(??,1)，

f(x)?k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。 y?16?x?x2的定义域是 .

86.（安徽文13）函数

【答案】（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法. 【解析】由6?x?x三、解答题

2?0可得x2?x?6?0，即?x+3??x?2??0，所以?3?x?2.

exf(x)?1?ax，其中a为正实数 87.（安徽理16）设

（Ⅰ）当a（Ⅱ）若

?43时，求f(x)的极值点；

f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围。

本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.

1?ax2?axf?(x)?e.22(1?ax) ① 解：对f(x)求导得

xa?

（I）当

431f?(x)?0,则4x2?8x?3?0,解得x1?,x2?.3，若22

综合①,可知

x f?(x)

+

1(??,)2

0

12 13(,)22

－

0

32

+

3(,?)2

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f(x)

x1?↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以,

31x2?2是极小值点,2是极大值点.

（II）若

f(x)为R上的单调函数，则f?(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知

ax2?2ax?1?0

2??4a?4a?4a(a?1)?0,由此并结合a?0，知0?a?1. 在R上恒成立，因此

88.（北京理18）已知函数(1)求

f(x)?(x?k)e.

x2kf(x)的单调区间；

f(x)?1e，求k的取值范围。

(2)若对?x?(0，??)，都有

/x122kf(x)?(x?k)e/fk解：(1)，令(x)?0得x??k

当k?0时，当k?0时，

f(x)在(??,?k)和(k,??)上递增，在(?k,k)上递减； f(x)在(??,k)和(?k,??)上递减，在(k,?k)上递增 f(k?1)?ek?1k(2) 当k?0时，

?11f(x)?e； e；所以不可能对?x?(0，??)都有

4k2f(?k)?f(x)(0,??)e，所以对?x?(0，当k?0时有（1）知在上的最大值为??)都有

f(x)?1e

4k2111????k?0f(x)?e时，k的取值范围为e2即e，故对?x?(0，??)都有1[?,0)2。

89.（北京文18）已知函数（II）求

f?x???x?k?ex，（I）求

f?x?的单调区间；

f?x?在区间

?0,1?上的最小值。

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