2011年高考数学试题分类汇编2——函数与导数(4)

则当m?0时，

f?mx??mf?x??0不恒成立，因此m?0．

在

当m?0时，函数

h?x??f?mx??mf?x?x??1,???1m，

是减函数，

因此当x?1时，于是

h?x?取得最大值

h?1??m?h?x??f?mx??mf?x??0恒成立等价于

h?x??x??1,????的最大值?0，

1?m??0,?m?1h?1??m??0?m?0,???,?1?．m即，解?得m??1．于是实数m的取值范围是

解法2．然m?0，由于函数

f?x??x?1x对x??1,???是增函数，则当m?0时，

f?mx??mf?x??0不成立，因此m?0．

1m1?m22m2x2?1?m2f?mx??mf?x??mx??mx??2mx???0mxxmxmx，

因为当

x??1,???222g?x??2m2x2?1?m2m?02mx?1?m?0，，则，设函数，则

x??1,???g?1??m2?1g?x?x?1时为增函数，于是时，取得最小值．

?g?1??m2?1?0,??m?0,???,?1?． ?解?得m??1．于是实数m的取值范围是

解法3．因为对任意

x??1,???，

f?mx??mf?x??0恒成立，所以对x?1，不等式

1?m??0,?m?1m??0?m?0,f?mx??mf?x??0f?m??mf?1??0m也成立，于是，即，解?得m??1．于是实数m的取值范围是???,?1?．

?3?x??,???f?x??x?1?2?， 63.（天津理16）设函数．对任意

2?x?f???4m2f?x??f?x?1??4f?m??m?恒成立，则实数m的取值范围是 ．

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??3??3????,?2?U?2,????????【答案】．

?x?f?x?1??4f?m??f???4m2f?x??0?m?【解析】解法１．不等式化为，即

x2?x?1??1?4m?4?2?1?4m2x2?4m2?0m，

221?2?21??4m?m2?x?2x?3?0?整理得?，

12x?32x?3x??3,???21?2?4m?2g?x??2??22??． x?0mxx因为，所以，设，

1?于是题目化为

?3?12x?,???4m?gx????2??恒成立的问题． m2，对任意

2x?3x??3,???12g?x??2u?0?u????2?的最大值．设x，x，则3． 为此需求

?2?20,?u??g?x??h?u??3u?2u3处取得最大值．函数在区间?3?上是增函数，因而在

242?28?2?18h???3???1?2?4m2?umax?x??933，所以m?3?3，

?4m整理得12m?5m?3?0，即

422?3??3m2?1??0，

所以4m2?3?0，解得

m??33m?2或2，

??3??3m????,?U,???????22????m因此实数的取值范围是．

1?解法2．同解法1,题目化为

?3?12x?,???4m?gx????2??恒成立的问题． m2，对任意

2x?3x??3,???g?x??2??2??的最大值． x为此需求，

g?x??h?t??设t?2x?3，则

t??6,???．

4t4?t2?6t?9t?9?6t．

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t?因为函数

993t?6?t在?3,???上是增函数，所以当t?6时，t取得最小值2．

48?183321??4m?gx?6??6max??2h?t?m3，整理得2从而有最大值．所以

12m4?5m2?3?0，

即

?4m2?3??3m?1??02，所以4m2?3?0，解得

m??33m?2或2，

??3??3m????,?U,???????22????m因此实数的取值范围是．

?x?f?x?1??4f?m??f???4m2f?x??0?m?解法3．不等式化为，即

x2?x?1??1?4m?4?2?1?4m2x2?4m2?0m，

221?2?21??4m?m2?x?2x?3?0?整理得?， 1??F(x)??1?2?4m2?x2?2x?3?m? 令．

由于

F?0???3?0，则其判别式??0，因此

F?x?的最小值不可能在函数图象的顶点

得到，

?3??3?x??,???F???2?恒成立，必须使?2?为最小值， 所以为使F(x)?0对任意

即实数m应满足

??1?1?2?4m2?0;?m???3??F???0;??2??23??122??2?1??4m?m2?????

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??3??33m??m2????,?2?U?2,????????m4 解得，因此实数的取值范围是．

?3?x??,????2?， 解法4．(针对填空题或选择题)由题设，因为对任意

?x?f???4m2f?x??f?x?1??4f?m??m?恒成立， x?则对

32，不等式

?x?f???4m2f?x??f?x?1??4f?m??m?也成立， ?3??3?f???4m2f????2m??2??1?f???4f?m??2?，即

3x?2代入上式得把

91292?1?4m??4m??1?4m2?4222444m，因为4m?0，上式两边同乘以4m，并

整理得

12m4?5m2?3?0，即?4m?3??3m?1??0，所以4m2?3?0，解得

22m??32或

m?32，

??3??3m????,?U,???????22????m因此实数的取值范围是．

1?1(lg?lg25)?1002=64.（四川理13）计算4_______．

【答案】－20

1?1lg2?lg51(lg?lg25)?1002??2???2?lg10???201?4102100【解析】．

65.（四川理16）函数f(x)的定义域为A，若x1,x2?A且f(x1)?f(x2)时总有x1?x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)=2x+1(x?R)是单函数．下列命题：

2f(x)?x①函数（x?R）是单函数；

②若f(x)为单函数，x1,x2?A且x1?x2，则f(x1)?f(x2)； ③若f：A→B为单函数，则对于任意b?B，它至多有一个原象；

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④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 【答案】②③

【解析】对于①，若f(x1)?f(x2)，则x1??x2，不满足；②实际上是单函数命题的逆否命

题，故为真命题；对于③，若任意b?B，若有两个及以上的原象，也即当f(x1)?f(x2)时，不一定有x1?x2，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件．

?1?1f(x)?2x?1f(x)f(?2)? 66.（上海文3）若函数的反函数为，则

3【答案】2

?ab(a,b,c,d?{?1,1,2}cd67.（上海文12）行列式所有可能的值中，最大的是 15【答案】2

68.（上海文14）设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数间[0,1]上的值域为[?2,5]，则【答案】[?2,7]

f(x)?x?g(x)在区

f(x)在区间[0,3]上的值域为

f(x)?69.（上海理1）函数

1?1x?2的反函数为f(x)? .

1?2【答案】x

ab(a,b,c,d?{?1,1,2})cd70.（上海理10）行列式所有可能的值中，最大的是 .

【答案】6

71.（上海理13） 设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数

区间[3,4]上的值域为[?2,5]，则【答案】[?15,11]

f(x)?x?g(x)在

f(x)在区间[?10,10]上的值域为 .

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