高中数学教学案例设计汇编(8)

（一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验

世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石

吗？

体展示三角形图案）

[设计意图] 情境学习理论认为：数学学习总是与一定的知识背景，即“情境” 相联系．从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫．

[知识链接] 高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：

1＋2＋3＋?+100＝？ 据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速

算出了正确答案：

（1＋100）＋（2＋99）＋??＋（50＋51）＝101×50＝5050.

[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律．学

生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下三道由易到难的问题．

（二）由易到难，在自主探究与合作中学习

问题1 图案中，第1层到第51层一共有多少颗宝石？

该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现． [学情预设] 学生可能出现以下求法

方法1：原式＝（1＋2＋3＋??＋50）＋51 方法2：原式＝0＋1＋2＋??＋50＋51

方法3：原式＝（1＋2＋?＋25＋27?＋51）＋26 以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬．

[设计意图] 这是求奇数个项和的问题，若简单地摹仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想．

问题2：求图案中从第1层到第n层（1＜n ＜100，n∈N*）共有多少颗宝石？ [学情预设] 学生通过激烈的讨论后，发现n为奇数时不能配对，可能会分n为奇数、偶数的情况分别求解，教师如何引导学生避免讨论成为该环节的关键．

[设计意图] 从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，让

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学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进．

启发：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形．

[设计意图] 借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型．

通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法： ∵1 + 2 + 3 +?（n－1） + n n +（n－1）+ （n－2）+? + 2 + 1

____________________________________________________________________

(n+1) + (n+1) + (n+1) +? +(n+1) + (n+1)

n（n+1）∴1+2+3+?+n=

2

问题3： 在公差为d的等差数列{an}中，定义前n项和 Sn=a1+a2+?+an，如何求Sn？

由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程： ∵Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +?+[a1+(n－1)d] Sn=an + (an－d) +（an－2d）+?+[an－(n－1)d] ∴

2Sn?(a1?an)?(a1?an)?????(a1?an)???????????????

n个?Sn?n(a1?an)2 (公式1)

组织学生讨论：

在公式1中若将an=a1+（n－1）d代入又可得出哪个表达式? 即：Sn?na1?n(n?1)2d（公式2）

（三）设置典例，促进学生对公式的应用

对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式．

例1 为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划（单位：m）如下表： 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 问这个同学7天一共将跑多长的距离？ [设计意图] 该例题是将课本P53习题2.3A组第3题改编成表格形式，可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算．

24例2 已知等差数列5，4 ，3 ，?

77求(1)数列｛an｝的通项公式；

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(2)数列｛an｝的前几项和为

1257？

(3)Sn的最大值为多少？并求出此时相应的n的值。

[设计意图] 通项公式与求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可求其余两个，主要是训练学生的方程（组）思想。第（3）小题是让学生初步接触用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础．

[知识链接]（1）由Sn?na1?d2?A,a1?d2?B,则Sn?An?2n(n?1)2d?d2n?(a1?2d2)n,若令

d?0可知当,Bn时，点(n,Sn)是在常数项为0的二次函

数图象上，可由二次函数的知识解决Sn的最值问题；

（2）若数列{an}的前n项和Sn?An2?Bn（A、B?R），则数列{an}一定是等差数列；

（3）由Sn?An2?Bn，可知

Snn?An?B，点?n,??Sn??在直线上； n?（4）在等差数列{an}中，当ak?0,ak?1?0时，Sk最大，当ak?0,ak?1?0时，Sk最小。

（四）反馈调控，实现学生对知识的掌握

练习1 已知等差数列｛an｝的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.

练习2 等差数列｛an｝中，a1= － 4， a8= －18， n=8，求公差d及前n项和Sn.

选做题 已知函数f（x）=

12+2x ，则f（-5）+f（-4）+??+f（0）+??+f

（5）+f（6）的值为

[设计意图] 分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教育理念．

（五）回顾反思，深化知识

组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实现对等差数列前n项和公式的再次深化．

1.从特殊到一般的研究方法；

2.体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思想； 3. 前n项和公式的函数意义

4、用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式；

[知识链接]

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（六）布置作业

1.课本P52习题2．3，第1题（1）（3），第2题（3）（4），第5题 2.探索题

1111（1）数列{}的前n项和Sn= + + + ?+

n(n+1)1×22×33×41，求Sn；

n×(n+1)1111Tn=（2）若公差为d(d≠0）的等差数列{an}中， + + +?+ ，

a2a3a1a2an-1ana3a4你能否由题（1）的启发，得到Tn的表达式？

七、教学反思

“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探

究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路．本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．

德化第一中学陈丽真

点评

本节课以故事引课，增强学生的好奇心，激发学生的学习欲望和热情。以问题为纽带，通过三个问题组织学生讨论，由特殊（自然数的前51项和）到一般（自然数的前几项和），再到一类（等差数列前几项和），循序渐进。通过类比Causs配对求和方法，借助几何直观，启发学生独立思考，讨论交流，对问题进行层层递进的探究，使学生从不同的思维

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角度掌握了等差数列的前几项和公式，从中深刻领会推导过程所蕴涵的逻辑推理方法和数学思维方法，培养了学生思维的深刻性、尖锐性和批判性。通过精选例题，分层次练习，使学生既巩固了知识又形成了技能。在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养学生自主学习、合作学习的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。必须指出的是，在用Causs配对法得到前几项和公式后，如能对此方法做更深入分析，指出其实质是等差数列的重要性质——等距性（即m,n,k,l∈N?,m+n=k+l,则am+an=ak+al）的应用，在作业中的探索题中如能加上：数列{an}是等差数列，求sn=a1a2+a2a3+…+anan+1则可得到一类问题（由等差连续项或连续项倒数）组成的数列求和问题的解决，深化学生对相关问题的理解。

24、等比数列的前n项和

一、教学内容分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教版）第二章第5节第一课时。从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

二、学生学习情况分析

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。

三、设计思想

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