高中数学教学案例设计汇编(4)

直角三角形——已验证； 锐角三角形——课堂探究； 钝角三角形——课后证明。

【设计意图】通过分析，确定探究方案。课堂只让学生探究锐角三角形的情形，有助于在不影响探究进程的同时，为探究锐角三角形的情形腾出更多的时间。钝角三角形的情形以课后证明的形式，可使学生巩固课堂的成果。

师：请你（生11）到讲台上，讲讲你的证路？

生11：（走上讲台），设法将问题转化成直角形中的问题进行解决。通过作三角形的高，5的办法一样，如图5作BC边上的高AD，则

AD?csinB?bsinCbsinB?csinC明思

Aca角三

b与生

，所以

asinA?bsinBBCD图 5 锐角三角形，同理可得

师：因为要证明的是一个等式，所以应从锐角三角形的条件出发，构造等量关系从而达到证明的目的。注意： csinB?bsinC表示的几何意义是三角形同一边上的高不变。这是一个简捷的证明方法！

【设计意图】点明此证法的实质是找到一个可以作为证明基础的等量关系，为后续两种方法的提出做铺垫，同时适时对学生作出合情的评价。

师：在三角形中还有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？ 学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：①三角形的面积不变；②三角形外接圆直径不变。在教师的建议下，学生分别利用这两种关系作为基础又得出了如下两种证法：

证法二：如图6，设AD、BE、CF分别是?ABC的三条高。则有

AD?b?sin?ACB， BE?c?sin?BACCF?a?sin?ABCAFcaD图 6 EbCB， 。

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?S?ABC??a12a?b?sin?ACB??bsin?ABC?12b?c?sin?BAC?c12c?a?sin?ABC

Asin?BACsin?ACB

cBa证法三：如图7，设BD?2r是?ABC外接圆直径，则?BAD?90?，?ACB??ADB

sin?ADBab同理可证：??2rsin?BACsin?ABC?asin?BACbsinB?bsin?ABCcsinC?csin?ACB?csin?ACB?c?BD?2r的

b

D

C图 7 三角形外接圆

【设计意图】在证明正弦定理的同时，将两边及其夹角的三角形面积公式 及

asinA???2r一并牵出，使知识的产生自然合理。

????????、BC、CA间有什么关系？

师：前面我们学习了平面向量，能否运用向量的方法证明呢？

????师：任意?ABC中，三个向量AB?????????????生12：AB?BC?CA?0

?????????????师：正弦定理体现的是三角形中边角间的数量关系，由AB?BC?CA?0转化成

数量关系？

???????????????????????????师：在AB?BC?CA两边同乘以向量j,有(AB?BC?CA)?j?0,这里的向量j可

?否任意？又如何选择向量j?

?生14：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑让向量j与三个向量中的一个向

????量（如向量BC）垂直，而且使三个项的关系式转化成两个项的关系式。

生13：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。

师：还是先研究锐角三角形的情形，按以上思路，请大家具体试一下，看还有什么问题？

教师参与学生的小组研究，同时引导学生注意两个向量的夹角，最后让学生通过小组代表作完成了如下证明。

?????证法四：如图8，设非零向量j与向量BC垂直。

?????????????因为AB?BC?CA?0，

?????????????所以(AB?BC?CA)?j?0 ??????????即AB?j?CA?j?0 B????????????????????|AB|?|j|?cos?AB,j??|CA|?|j|?cos?CA,j??0 ??c?|j|?cos(90??B)?b?|j|?cos(90??C)?0 ??c?|j|?(?sinB)?b?|j|?sinC?0

Ac?jbaC图 8 向量第 17 页 共 68 页

所以

bsinB?csinC，同理可得

asinA?bsinB

师：能否简化证法四的过程？（留有一定的时间给学生思考）

??????????师：AB?j?CA?j?0有什么几何意义？

????????????????????生15：把AB?j?CA?j?0移项可得CA?j?BA?j?????????知CA与BA在j方向上的投影相等。

，由向量数量积的几何意义可

生16：我还有一种证法

????????证法五：如图9，作AD?BC，则AB与AC在

????????????????????AD方向上的投影相等,即AB?AD?AC?AD

?????????????????|AB|?|AD|?cos(90??B)?|AC|?|AD|?cos(90??C)C ?c?sinB?b?sin

bsinBcsinCasinAbsinB师：请你到讲台来给大家讲一讲。（学生16上台板书自己的证明方法。）

Ac?bDa图 9 向量C故

?，同理可得

B师：利用向量在边上的高上的射影相等，证明了正弦定理，方法非常简捷明了！

【设计意图】利用向量法来证明几何问题，学生相对比较生疏，不容易马上想出来，教师通过设计一些递进式的问题给予适当的启发引导，将很难想到的方法合理分解，有利于学生理解接受。

（四）小结

师：本节课我们是从实际问题出发，通过猜想、实验，归纳等思维方法，最后发现了正弦定理，并从不同的角度证明了它。本节课，我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，利用了几何画板进行数学实验。我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。

（五）作业

1、回顾本节课的整个研究过程，体会知识的发生过程； 2、思考：证法五与证法一有何联系？

3、思考：能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理？ 4、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。

【设计意图】为保证学生有充足的时间来完成观察、归纳、猜想、探究和证明，小结的时间花得少且比较简单，这将在下一节课进行完善，因此作业的布臵也为下节课做一些必要的准备。

七、教学反思

为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。我想到了

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“情境——问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境——问题”学习链，并根据上述精神，结合教学内容，具体做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景（注：该情境源于《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修4）》（人教版）第二章习题2.5 B组第二题，我将其加工成一个具有实际意义的决策型问题）；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题4与5时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题需要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？③为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后使用几何画板对猜想进行验证，进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明。

总之，整个过程让学生通过自主探索、合作交流，亲身经历了“情境思考”——“提出问题”——“研究特例”——“归纳猜想”——“实验探究”——“理论探究”——“解决问题”——“反思总结”的历程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，从而使三维教学目标得以实现。

大田一中 陈永民

点评：

本节课是典型合作探究课，教师先设计一个实际问题引导学生讨论问题解决方案，将方案数学化，归纳出一类数学问题“在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边”，顺利地引入新课，实现了从“现象”到“本质”的飞跃，培养了学生提出问题、分析问题、数学建模的能力。为寻求解决问题的普遍方法，对三角形的边角关系进行探索，在特殊情况（直角三角形）下得到正弦定理

asinA?bsinB?csinC，

又在等边三角形和一般三角形中验证，坚定了结论成立的猜想，最后通过严格证明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理问题迎仞而解。从而使学生亲身经历了“情境思考”—“提出问题”—

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“研究特例”—“归纳猜想”—“实验探究”—“理论探究”—“解决问题”—“反思总结”的历程，学会研究数学问题的方法，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐。在对具体的一般三角形验证

asinA?bsinB?csinC成立的过程中，利用《几何画板》软

件，不断变换三角形，观察上式成立，提高了效率，现代教育技术的运用恰到好处。

21、余 弦 定 理

一、教学内容分析

人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。

二、学生学习情况分析

本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。

三、设计思想

新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，

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