高中数学教学案例设计汇编(5)

作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。

四、教学目标

继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。

五、教学重点与难点

教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。

六、教学过程： 教学环节

合作探究活动

1、一般三角形全等的四种判断方法是什么？

知识 回顾

2、三角形的正弦定理内容

asinA?bsinA?csinC学情分析与设计意图

，主要回顾旧知，防止遗忘

解决哪几类问题的三角形？ 你能判断下列三角形的类型吗？

1、以3，4，5为各边长的三角形是_____三角形

创设 引入

以2，3，4为各边长的三角形是_____三角形 以4，5，6为各边长的三角形是_____三角形 2、在△ABC中a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求c边长吗？

引导学生从平面几何、实践作图方面进行估计判断。

学生可能比较茫然，帮助学生分析相关内容，从多角度看待问题，用实践进行检验。

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你能够有更好的具体的量化方法吗？

提出 帮助学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法问题 等方面进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学

生的积极讨论。

利用向量法推导余弦定理： 如图：设CB?a,CA?b,AB?C,， 引导学生从相关知识入手，选择简洁的工具。

A 学生对向量知识可能遗忘，注意复习；在

b由三角形法则有c?a?b cB 2合作c?c?c??a?b???a?b?C a探究

　　?a?a?b?b?2a?b

　　?a2?b2?2abcosc即：△ABC中:c2?a2?b2?2abcosc同理，让学生利用相同方法推导，

a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2acosB

余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA

222归纳b?a?c?2accosB

概括

c2?a2?b2?2abcosC

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

结构观察余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关系，分析

并发现a与A，b与B，C与c之间的对应表述，同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现

b2A??c2?a2余弦定理的推论：cos

知识2bc联系

22222cosB?a?c?b?c22ac cosC?a?b2ab

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利用数量积时，角度

可能出现错误，出现

不同的表示形式，让学生从错误中发现问题，巩固向量知识，明确向量工具的作用。同时，让学生明

确数学中的转化思想：化未知为已知。

知识归纳比较，发现特征，加强识记

使学生明确对应关系，树立方程思想，解决“边、角、边”

问题

解决“边、边、边”

问题

用准确的量化关系去

方法

怎样准确地解答引入中的两个问题？

应用 怎样利用已知条件判断三角形的形状？

解决问题，用边长去判断三角形形状，勾股定理是余弦定理特

例。

应用数学知识求解问

例1：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm， 题加强计算器的运算

知识

A＝41°，求解三角形（角度精确到1°，边长精确到

应用 1cm）

例2：在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c

＝161.7cm，解三角形（角度精确到1′）

例3：已知△ABC中a?3,b?3,sinA?63求c边长 知识分析：（1）用正弦定理分析引导

深化

（2）应用余弦定理a2?b2?c2?2bccosA构造关于C的方程求解。 （3）比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。

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功能，同时，巩固好正弦定理，余弦定理知识，发现两种知识方法在解三角形中的综合应用。 继续深化正弦、余弦

定理，尤其是余弦定

理的方程思想求解问

题优越于余弦定理。

并让学生初步发现“边、边、角”问题解法，为下节学习辅垫。

1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车的距离d2之间关系为（ ）

用练习去巩固所学知

A：d1>d2 B：d1= d2

练习

检测 C：d1< d2 D：大小不确定

2、锐角△ABC中b＝1，c＝2，则a取值为（ ） A：（1,3） B：（1,3） C：（3，2） D：（3，5）

3、在△ABC中若有acosA?bcosB，你能判断这个三角形的形状吗？若acosB?bcosA呢？

识，使学生逐步形成良好的知识结构，加强数学知识应用能力的培养。

1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？各有什么

通过知识回顾，使学

利与弊？

小结 2、从本课中你学到了哪些知识和方法？ 生各自体会收获。 课堂

1、推导余弦定理及其推论 板书2、例3、例4 设计 3、练习指导

4、小结投影正弦、余弦定理，比较它们理解知识

作业

1、讨论余弦定理的其它解法设计思路。

设计 2、第11页A组3、4题

巩固知识 多角度看待问题

七、教学反思

本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类

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型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题。学生应用数学的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。

福建漳平市第一中学李永彬

点评：

本课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面向量、正弦定理的基础上而设臵的教学内容，因此本课的教学有较多的处理办法。李老师从解三角形的问题出发，提出解题需要，引发认知冲突，激起学生的求知欲望，调动了学生的学习积极性；在定理证明的教学中，引导学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分析讨论，注意分析思路，揭示蕴含在证明中的数学思想，最后引导学生用向量知识推导出公式c2?a?b?2abcosC22，在给出余

弦定理的三个等式和三个推论之后，又对知识进行了归纳比较，发现特征，便于学生识记，同时也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了学生的思维层次。

命题的应用是命题教学的一个重要环节，学习命题的重要目的是应用命题去解决问题。所以，例题的精选、讲解是至关重要的。设计中的例1、例2是常规题，让学生应用数学知识求解问题，巩固正弦定理、余弦定理知识。例3是已知两边一对角，求解三角形问题，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通过比较分析，突出了正、余弦定理的联系，深化了对两个定理的理解，培养了解决问题的能力。但李老师在对例3解法的总结时，指出“能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理

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