高中数学教学案例设计汇编(2)

=

1212AC?AB?sin?BAC?1212CB?CA?sin?ACB?1212BA?BC?sin?ABC

=b?c?sin?BAC?等式可得即

12a?b?sin?ACB?12c?a?sin?ABC12

12abcb?c?sin?BAC??sin?ABCbbsin?ABC??a?b?sin?ACB?中均除以c?a?sin?ABC后

sin?BACaa?sin?ACBcc，

sin?BACsin?ACB。

教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。

B F c b A

的面积：S?ABC?学生：S?ABC?1212E

a C

(图7)

（图7）

D

在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高AE?c?sin?ABC?a?sin?ABC，三角形

?a?AE，能否得到新面积公式

12a?b?sin?ACB?12casinB?asinA1212c?a?sin?ABCb?c?sin?BAC?12

得到三角形面积公式S?ABC?

absinC?bcsinA 、

csinC教师：大家还有其他的证明方法吗？比如：、

bsinB都等于同一个比

值k，那么它们也相等，这个k到底有没有什么特殊几何意义呢？

学生：在前面的检验中，Rt?ABC中，

asiAn?b?sBincc?，cCsin恰为外接接圆的直径，即

B' C ，所以作?ABC的外接圆O，O为圆心，连接

BO并延长交圆O于B'，把一般三角形转化为直角三角形。

证明：连续BO并延长交圆于B'

??B'AB?90?，?B'??C

c?k?2RO A B （图8）

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在Rt?B'AB中，

?ABsinB'csinC?ABsinCABsinB'?B?B

?B'B?2R

即

?2R

a?2R同理可证：

sinAsinBabc????2R sinAsinBsinC，

b?2R

教师：从刚才的证明过程中,

asinA?bsinB?csinC?2R，显示正弦定理的比值等

于三角形外接圆的直径2R，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学

????过a?b?a?b?cos?，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用

向量积来证明正弦定理呢？

学生：思考（联系作高的思想）得出：

?????????????在锐角三角形?ABC中，AB?BC?AC，作单位向量j垂直于AC，

???????????????AC?j?AB?j?BC?j

?j B 即0?c?cos(90??A)?a?cos(90??C)

?c?sinA?a?sinC?0 ?csinC?asinAbsinBbsinB

??asinAcsinC?j ?j

同理：??asinA?

A

C

（图9）

对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。

教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。 设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。 （四）利用定理，解决引例

师生活动：

教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。 学生：马上得出

在?ABC中，?B?180???A??C?60?,?c?b?sinCsinB?600?sin45?sin60??2006mcsinC?bsinB

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（五）了解解三角形概念

设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性

教师：一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。

设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。 （六）运用定理，解决例题

师生活动：

教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。 学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：

①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如

a?bsinAsinB；

②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如

asinBbsinA?。

师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。

例1：在?ABC中，已知A?30?，B?45?，a?6cm，解三角形。

分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为180?求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。

例2：在?ABC中，已知a?22，b?23，A?45?，解三角形。

例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流

学生：反馈练习（教科书第5页的练习）

用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。

设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。 （七）尝试小结：

教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。 学生：思考交流，归纳总结。

师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：

（1）正弦定理的内容（

asinA?bsinB?csinC?2R）及其证明思想方法。

（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。 （3）分类讨论的数学思想。

设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。 （八）作业设计

作业：第10页[习题1.1]A组第1、2题。

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b?23，A?45?，思考题：例2：在?ABC中，已知a?22，解三角形。例2中b?23分别改为b?26，b?5并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。

课外链接：课后通过查阅相关书籍，上网搜索，了解关于正弦定理的发展及应用（相关网址：www.fayz.com） 七、设计思路：

本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察——实验——归纳——猜想——证明”的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。 1、结合实例，激发动机

数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的兴趣，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，方法一通过相似三角形相似比相等进行计算，方法二转化解直角三角形。让学在解决问题中发现新知识，提出猜想，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。 2、数学实验，验证猜想

通过特例检验，让学生动手实验，提高了学生实验操作、分析思考和抽象概括的能，激发学生的好奇心和求知欲望，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。 3、证明猜想，得出定理

引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识。 附一： 实验报告单 组长: 组员： abc试验目的 研究三角形中各边和它对角的正弦值的比(，，)是否相sinAsinBsinC等。 实验器材 实验方法 实验内容 计算器，直尺，量角器，硬纸板（由老师统一发） 画一个任意三角形，量取三边和三个角的值，并计算。 三边：a= b= c= 三角：A= B= C= 计算：结论： asinA= bsinB= csinC= （精确到小数点后两位） 第 9 页 共 68 页

福安一中 陈桢仔 林旭

点评：

本节定理教学课，教师把重点放在定理的发现与证明上，符合新课标重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向。首先，利用解决一个可测量两角一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问题中，引导学生发现“三角形三边与其对应角的正弦值的比相等”的规律；通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对任意三角形成立；接着证明了这个定理。在课堂上展示了定理的发现过程，使学生感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣，同时让学生体验了“观察—实验—归纳—猜想—证明”的数学思想方法，经历了知识形成的过程，符合新课标重视过程与方法的理念。其次，在解决引例中的测量问题时利用用初中相似三角形知识、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、辅助以三角形外接圆、向量）等，都体现了 “在已有知识体系的基础上去建构新的知识体系”的理念，加强了知识间的联系，培养了学生思维的灵活性。定理证明的方法一、方法二，参透了分类 、转化的数学思想。但是，本节课的教学内容还是偏多，在时间分配上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要注意条件更加明确直接，以免产生歧义，冲淡主体，浪费时间。

总之，本节课有效地采用了探究式教学，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质

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