现代信号分析课程大作业(7)

现代信号分析

legend('未滤波','滤波器1','滤波器2 运行结果见图7-2。

（a）a=0.3 （b）a=0.9

图7-2 不同a值白噪声方差对滤波结果的影响

由图可以看出，两种滤波器下信号方差的变化趋势都为线性增大的状态，当a=0.9时，滤波器1（AR

）性能优于a=0.3， 且明显好于a=0.9时滤波器2（MA），在这种情况下选择滤波器时优先考虑 滤波器1（AR）。

八、卡尔曼滤波器

题目：简述卡尔曼滤波器。并计算下面的例子：（15分）

一连续平稳的随机信号x(t)，自相关函数rx(?)?e??，信号x(t)为加性噪声所干扰，噪声是白噪声，测量值的离散值z(k)为已知，Ts=0.01s,

-3.2,-0.8,-14,-16,-17,-18,-3.3,-2.4,-18,-0.3,-0.4,-0.8,-19,-2.0,-1.2,-11,-14,-0.9,0.8,10,0.2,0.5,-0.5,2.4,-0.5,0.5,-13,0.5,10,-12,0.5,-0.6,-15,-0.7,15,0.5,-0.7,-2.0,-19,-17,-11,-14.

利用卡尔曼滤波，估计信号x(t)的波形。并给出不同的量测噪声对卡尔曼滤波的影响，同时给出迭代次数与均方误差的关系曲线。

1．卡尔曼滤波器简介

卡尔曼滤波是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器), 它能够从一系列的不完全包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。

简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。

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首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：

X(k)?A?X(k?1)?B?U(k)?W(k) （8-1） 再加上系统的测量值：

Z(k)?H?X(k)?V(k) （8-2）

U(k)是k时刻对系统的控制量。 上面两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，A和B是系统参数，

对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的协方差矩阵分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的协方差矩阵来估算系统的最优化输出。

首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：

X(kk?1)?A?X(k?1k?1)?B?U(k) (8-3)

U(k) 式(8-3)中，X(kk?1)是利用上一状态预测的结果，X(k?1k?1)是上一状态最优的结果，

为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(kk?1)的协方差矩阵还没更新。我们用P表示协方差矩阵：

P(kk?1)?A?P(k?1k?1)?A'?Q (8-4)

式(5-4)中，P(kk?1)是X(kk?1)对应的协方差矩阵，P(k?1k?1)是X(k?1k?1)对应的协方差矩阵，A'表示A的转置矩阵，Q是系统过程的协方差矩阵。式子8-1，8-2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。

现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态X(k)的最优化估算值 X(kk)：

X(kk)?X(kk?1)?Kg(k)?(Z(k)?H?X(kk?1)) (8-5)

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其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain)：

Kg(k)?P(kk?1)?H'/(H?P(kk?1)?H'?R) (8-6)

到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(kk)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(kk)的协方差矩阵：

P(kk)?(I?Kg(k)?H)?P(kk?1) (8-7)

其中I为1的矩阵，对于单模型单测量，I?1。 2.利用卡尔曼滤波，估计信号的波形 （1）求过程的功率谱密度

将积分按＋?和－?分成两部分进行，信号的自相关函数是rx(?)?e??，则其功率谱为

S0??X(?)??e?e?jd????e??e?j????0d?

e(??j?)?0(??j?)????e?1?j????(1?j?) 0???11?? ?1?j??1?j???21??2

（2） 用复频率s来表示功率谱密度 （???js）

Sx(s)?21??2?11?2??s2s?1?1?s （3）谱分解与Z变换根据冲激响应不变原理，将连续系统变成离散系统，即

Sx(z)?m??1?emTz?m?????e?mTz?me?Tzz1?e?2T?m?01?e?Tz?z?e?T?(1?e?Tz?1)(1?e?Tz) 其中z?ejwT，T?TS?0.01

S2?1(1?e?2T)z?1根据等式zz?1x(z)??wB(z)B(z)?(1?e?Tz?1)(1?e?Tz)得 B(z)?1?e?Tz?1

变换到时域得：x(n)?e?Tx(n?1)?w(n?1),

因此A(k)?e?T?e?0.01?0.99，

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所以得出状态方程x(k?1)?0.99x(k)?w(k)，即B=1， 又因为量测方程y(k)?x(k)?v(k)，所以C(k)?1，D(k)=0，

2T=0.01s，Q??w?1?e?2T?0.02。

（4）下面给出的matlab程序，包含自编卡尔曼滤波算法和matlab自带卡尔曼函数。

在用matlab自带卡尔曼函数前，先调用sys=ss（A,B,C,D,Ts）函数，这里采样周期Ts=0.02s，

A,B,C,D均已求出，得到离散卡尔曼状态模型，然后调用函数[kalmf,L,P,H,E] = kalman(sys,Q,R),设

计离散卡尔曼滤波器。H和E表示系统稳态的修正矩阵和均方误差，把它们代入估计值的更新公式（如

下）就可以根据观测信号得到卡尔曼滤波的估计值了。

S(k)?A*S(k?1)?H*[Y(k)?C*A*S(k?1)]

其中，S(k)是卡尔曼滤波估计值，Y(k)是已知的测量值。

clear all; Y = [-3.2,-0.8,-14,-16,-17,-18,-3.3,-2.4,-18,-0.3,-0.4,-0.8,-19, -2.0,-1.2,-11,-14,-0.9,0.8,10,0.2,0.5,-0.5,2.4,-0.5,0.5,-13,0.5, 10,-12,0.5,-0.6,-15,-0.7,15,0.5,-0.7,-2.0,-19,-17,-11,-14]; N= length(Y); % ----卡尔曼函数 ---------------------------------------- A=0.99;B=1;C=1;D=0; T=0.01; sys = ss(A,B,C,D,T); % 求出离散卡尔曼状态模型 v=std(randn(1,N)); R=v^2; Q=0.02; [kalmf,L,P,H,E] = kalman(sys,Q,R); % H：修正矩阵 E:最小均方误差 S=zeros(1,N); for k=2:N S(k)=A*S(k-1)+H*(Y(k)-C*A*S(k-1)); % 卡尔曼滤波后的估计值 end k=1:1:42; plot(k*0.02,S,'b-',k*0.02,Y,'r'); legend('估计值','测量值'); ylabel('信号幅值'); title('卡尔曼函数滤波结果'); grid on; 运行结果如图8-1所示： - 34 -

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图8-1 卡尔曼滤波估计图

上图是直接用卡尔曼滤波函数进行滤波的效果。在Matlab当中，可以根据状态方程和观测方程，调用dlqe函数，直接求解其最佳递推估计方程，可以利用该方程对输入信号进行滤波，比较两种方式的结果，进行结果验证。结果验证的Matlab程序如下：

% 采用dlqe函数求解kalman滤波器的稳态参数 a=0.99;G=1;Qk=0.02;Rk=1;c=1; [L,P1,P]=dlqe(a,G,c,Qk,Rk); %%%%%%%%% 根据kalman滤波器的稳态参数设计的滤波器 for i=1:size_x(1) xw(i)=X(i); end for i=2:size_x(1) xw(i)=0.99*xw(i-1)+L*(X(i)-0.99*xw(i-1)); end % 结果显示 subplot(312);plot(k*0.02,xk_s(k),'b-',k*0.02,xw(k),'r'); legend('Kalman','Wiener'); xlabel('时间Ts');ylabel('信号幅值');title('Kalman和稳态滤波比较');grid on; 本题中，信号x(t)为加性噪声所干扰，噪声是白噪声，但是白噪声的方差没有给出， 以??0.05为例，Matlab程序得到的结果如图8-2所示。

2

图8-2 卡尔曼滤波结果和稳态滤波结果比较

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