现代信号分析课程大作业(2)

莱克曼窗,矩形窗，海明窗，和三角窗，得如下PSD图。

(a)blackman (b)boxcar

(c)hamming (d)triang

图1-3 FFT的泄露现象

由以上四图可见，布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高。矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低；海明窗是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小，海明窗的频谱是由3个矩形时窗的频谱合成，但其旁瓣衰减速度为20dB／（10oct）。三角窗与矩形窗比较,主瓣宽约等于矩形窗的两倍,但旁瓣小,而且无负旁瓣。

所以对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗。

（3） 栅栏效应

栅栏效应是因为用计算频谱只限制为基频的整数倍而不可能将频谱视为一连续函数而产生的。设信号的最高频率为

fh，要求的频率分辨率为F（即在频率轴上所能得到的最小频率间隔），则采样点数N需要满足以下条件：

N?2fhF

若不满足，就会产生栅栏效应。减小栅栏效应通常有两个方法：

一个方法是在原纪录末端添加一些零值点来变动时间周期内的点数，并保持记录不变。从而在保持原有频谱连续形式不变的情况下，变更了谱线的位置。这样，原来看不到的频谱分量就能移到可见的位置上了。但是，补零并没有增加序列的有效长度，所以并不能提高分辨率。但补零同时可以使数据长度N为2的整数幂，以便于应用FFT。

另一个方法是增加采样点数，从而减小频率间隔，使原来被挡住的一些频谱的峰点或谷点显露出来。注意，这时候每根谱线多对应的频率和原来的已经不相同了。 下面通过实际的函数来分析两种方法的效果。

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现代信号分析

程序如下：

L=90; % 采样点数 NFFT = 2^nextpow2(L); % Next power of 2 from length of y Fs=400; % 2采样频率 t=(0:L-1)/Fs; s=cos(200*pi*t)+2*cos(204*pi*t); Y1 = fft(s,NFFT)/L; f1 = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1); plot(f1,2*abs(Y1(1:NFFT/2+1))); xlabel('频率'); % ----原序列末端补零 ------------------------------------------- L3=1024; NFFT= 2^nextpow2(L3); s3=[s zeros(1,L3-L)]; Y3= fft(s3,NFFT)/L3; f3=Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1); figure; plot(f3,2*abs(Y3(1:NFFT/2+1))); xlabel('频率'); ('频率'); % ---- 增加采样点数--------------------------------------------- L2=1024; NFFT = 2^nextpow2(L2); t=(0:L2-1)/Fs; s2=cos(200*pi*t)+2*cos(204*pi*t); Y2 = fft(s2,NFFT)/L2; f2 = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1); figure; plot(f2,2*abs(Y2(1:NFFT/2+1))); xlabel('频率'); 设输入信号为s?cos200?t?2cos204?t，采样频率为400Hz。可见，信号含有2个频率分量，分别为100Hz和102Hz，则要求的频率分辨率为2Hz，可算得N为202，即至少采样202个点，才不会发生栅栏现象。

首先取采样点数为90，对其进行FFT，得到的图形如图1-4所示。

图1-4 FFT的栅栏效应

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可见，虽然采样频率满足香农采样定理，但由于采样点数较少，频率为20Hz和20.5Hz的信号无法分辨。下面采用补零的方法，将N补满1024，得到的FFT图形如图1-5所示。

图1-5 信号末端补零改善栅栏效应

由上图可以看出，补零对分辨率没有影响，但是对频谱起到了平滑的作用。同时，由于增加了大量零值，使得信号的平均幅频响应大大减小。

然后采用增加采样点的方法，将采样点数增加到1024，FFT后的图形如图1-6所示。

图1-6 增加采样点数改善栅栏效应

由上图可以看出，增加采样点数后就能分辨出100Hz和102Hz的信号，有效地改善了栅栏效应。从时域看，这种方法相当于对信号进行整周期采样，实际中常用此方法来提高周期信号的频谱分析精度。

二、平稳随机过程

题目：什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？它们之间有什么联系？（5分）

平稳随机过程是指它的统计特性不随时间的推移而变化，在谱估计中可以认为平稳随机信号是由一个白噪声激励一个线性时不变系统产生的。

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现代信号分析

2.1宽平稳随机过程

设有一个二阶随机过程{?(t),t?T}，它的均值为常数，自相关函数仅是时间差的函数，则称它为宽平稳随机过程，用符号化语言表示，给定一个二阶矩过程{?(t),t?T}，如果对任意t,t???T，有：

（1）E[?(t)]?a（常数）

（2）自相关函数R(t,t??)?E[?(t)?(t??)]?R(?) 则称{?(t),t?T}为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。

2.2 严平稳随机过程

在数学中，平稳随机过程（Stationary random process）或者严平稳随机过程（Strictly-sense stationary random process），又称狭义平稳随机过程，是指随机过程在某一固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同，即随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。这样，数学期望和方差这些参数也不随时间和位置变化。

用符号化语言表示出来，设随机过程?，对于任意的n（n=1,2,···）和任意选定的?以及?为任意值，当?时，n维随机变量?和??(t1??),?(t2??),???,?(tn??)?具有相同的概率分布，即：

fn(x1,x2,?,xn;t1,t2,?,tn)?fn(x1,x2,?,xn;t1??,t2??,?,tn??)

则称随机过程??(t),t?T?具有平稳性，称此过程为严平稳随机过程，简称随机过程。

2.3 严平稳随机过程与宽平稳随机过程区别联系

（1）一个宽平稳过程不一定是严平稳过程，一个严平稳过程也不一定是宽平稳过程。 例1：X(n)?sinwn,n?0,1,2???，其中w服从U(0,2π)，随机过程?X(n),n?0,1,2????是宽平稳过程，但不是严平稳过程；

例2：服从柯西分布的随机变量序列是严平稳随机过程，但不是宽平稳随机过程。

（2）宽平稳过程定只涉及与一维、二维分布有关的数字特征，所以一个严平稳过程只要二阶矩存在（或E[?(t)]有界），则必定是宽平稳随机过程。但反过来一般不成立。

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注：二阶矩过程定义，如果随机过程??(t),t?T?对第一个t?T，二阶矩E[?(t)??(t)]都存在，那么称其为二阶矩过程。

（3）正态过程是一个重要特例，一个宽平稳的正态过程必定是严平稳的。这是因为：正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的，因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化，则概率密度函数也不随时间的推移发生变化。

三、功率谱估计

题目：简述经典功率谱估计与现代功率谱估计的差别，并计算下题：（14分）

设随机过程是单位方差白噪声激励如下的系统而产生的：

s(n)?2.7377s(n?1)?3.7476s(n?2)?2.6293s(n?3)?0.9224s(n?4)??(n)

取序列的长度分别为128和1024数据段，并用经典和现代谱估计方法进行谱估计，分析不同参数对最终结果的影响。 解答：

3.1 经典功率谱估计和现代功率谱估计的差别

信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以提示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱。因此，功率谱估计就是基于有限的数据寻找信号、随机过程或系统的频率成分。一般功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。其各自的特点及相互差别如下。

根据所用理论的不同，通常将基于相关函数的傅里叶变换的估计方法称为经典功率谱估计，而将参数模型估计方法和基于相关矩阵特征值分解的信号频率估计方法，称为现代功率谱估计方法。经典谱估计为线性估计方法，是建立在传统的傅里叶变换的基础之上，它首先由给定的数据估计自相关序列rx(k)，然后对估计出的自相关序列rx(k)进行傅里叶变换得到功率谱估计，没有将信号的可用信息结合到估计过程中，有计算效率高、估计值正比于正弦波信号的功率等优势。但性能依赖于数据序列的长度，频率分辨率低，且需在方差和分辨率之间做出权衡，不适用于短时数据的情况，典型代表有Blackman和Tukey提出的自相关谱估计法（简称BT法），周期图法以及周期图法的改进方法——Barlett法和Welth法；而现代功率谱估计是非线性估计方法，估计性能依赖于参数模型，最终可获得方差小、分辨率高的谱估计，但所用模型必须适合于所分析信号，否则谱估计将是错误或者不准确的。有AR模型，MA模型，ARMA模型等；非参数模型谱估计有最小方差法和MUSIC法等。

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