现代信号分析课程大作业(6)

rv1v2 =E{ v1(n) v2*(n-k)}= E{ [x(n)-d(n)] v2*(n-k)} = E{ x(n) v2*(n-k)}- E{ d(n) v2*(n-k)}

题目中v2(n)与d(n)不相关，则上式第二项为零，上式简化为

rv1v2 = E{ x(n) v2*(n-k)}

因此，Wiener-Hopf方程变为：

Rv2 ω = rxv2

式中Rv2是v2(n)的自相关矩阵，ω是维纳滤波器系数矢量，rxv2是x(n)和v2(n)的互相关矢量。因此，要求解出维纳滤波器，需要先求出维纳滤波器系数矢量ω。

根据上述分析，在matlab中，首先利用白噪声产生v1(n)和v2（n）序列，之后求解出v2(n)的自相关矩阵和x(n)和v2(n)的互相关矢量，然后求出维纳滤波器系数矢量ω。再利用已求解的维纳滤波器进行题目所示的噪声滤除工作。取ω0=0.05，具体求解过程如下程序所示：

clear; clc; N=512; n=1:1:N; en=randn(1,length(n)); %白噪声 d=sin(0.05*n*pi+pi/3); k=2; %维纳滤波器的阶数 v1=filter([1],[1 -0.1],en); v2=filter([1],[1 0.6],en); x=d+v1; Rv2=xcorr(v2,'unbiased'); %计算序列的自相关函数 Rv1v2=xcorr(v1,v2,'unbiased'); %计算序列的互相关函数 for i=1:k; %构造自相关矩阵和互相关矩阵, Rv21(i,:)=Rv2(N-i+1:N-i+k); Rv1v21(i,:)=Rv1v2(N+i-1); end; h=inv(Rv21)*Rv1v21; v11=filter(h',1,v2); v1_1=filter(h',1,v2); e=x-v11; subplot(4,1,1),plot(n,d,'b'),title('输入信号波形') subplot(4,1,2),plot(n,x,'b'),title('信号加白噪声') subplot(4,1,3),plot(n,v1_1,'r'),title('白噪声估计') subplot(4,1,4),plot(n,e,'g'),title('恢复后信号波形') e1=e-d; a=sum(e1.^2) 当?- 26 -

=0.1，维纳滤波器阶数为2阶时，滤波结果如下图6-2所示。

现代信号分析

图6-2

?=0.1， 2阶维纳滤波器滤波效果

?=0.1，维纳滤波器阶数为5阶时，滤波结果如下图6-3所示。

图6-3?=0.1， 5阶维纳滤波器滤波效果

?=0.9，维纳滤波器阶数为20阶时，滤波结果如下图6-4所示。

图6-4?=0.9， 20阶维纳滤波器滤波效果

?=0.9，维纳滤波器阶数为50阶时，滤波结果如下图6-5所示。

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当

当当

图6-5

?=0.9， 50阶维纳滤波器滤波效果

根据上述分析和结果图进行对比可以得出，当?=0.1时，维纳滤波器阶数为5时，维纳滤波器滤波得到的信号幅值与相位与原信号就有较好的一致性。但当当?=0.9时，维纳滤波器阶数为20时，维纳滤波器滤波得到的信号幅值与相位与原信号都没有太好的一致性，只有阶数为50时，滤波得到的信号幅值与相位与原信号才有较好的一致性。可以看出维纳滤波器阶数越高，滤波效果更好一些，在选择50阶滤波时，曲线平滑且接近原波形曲线，但实际情况下，并不是阶数越高越好，当滤波阶数过大时，维纳滤波器在仿真计算过程中会引入舍入误差，当舍入误差逐渐积累，会导致高计算量的高阶情况下均方误差增大，引起滤波不理想。但当超过一定阶数时，阶数的增加对滤波效果的改善已经基本可以忽略，此时单纯靠提高阶数的办法不能改进滤波效果了。说明此时维纳滤波器的效能已经达到最佳，若要再改善效果，必须选用结构更先进的滤波器。

七、AR/MA滤波器

题目：用雷达测量地球和月球之间的距离d，测量过程用下列方程描述

x(n)?d?w(n)

其中w(n)是均值为零，方差为?w的白噪声序列，它表示测量误差。为了提高测量精度，现采用以下两种滤波器分别对进行处理x(n)，试比较其方差?w的大小。 滤波器１： 滤波器２：

式中0?a?1。（10分）

y(n)?ay(n?1)?(1?a)x(n) y(n)?ax(n)?(1?a)x(n?1)

222 由于测量过程x(n)为测量真值d与零均值、方差为?w的白噪声序列，因此，在滤波前，x(n)的均值为d，方差为白噪声序列方差?w，即：

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2现代信号分析

E[x(n)]?d VAR[x(n)]??w2本题是对测量过程x(n)经过两种滤波器后信号序列的方差的比较。题中所给出的滤波器1和滤波器2，分别为AR和MA模型，两个滤波器中a值未确定，但给出了相应范围，即0?a?1，为了对这个范围内滤波器1和滤波器2的方差进行比较，在MATLAB程序中，需要设定一个参数，其范围为0至1，采样频率为1000，并将其存入一个数组中，以比较不同a值下的方差大小，即两种滤波器对原信号的滤波效果。

另外为了得出白噪声序列方差对滤波后方差的影响，可以通过输入白噪声不同的输入值获得，本题取方差为0.04观测其效果，Matlab程序见如下：

clear;clc; N=1000; var0=input('输入白噪声方差：'); init=2055615866; randn('seed',init); w=sqrt(var0)*randn(1,N); d=3800;%距离 x=d+w;%输入信号 y1(1)=d; y2(1)=d; for i=1:N a=i/N; for j=2:N y1(j)=a*y1(j-1)+(1-a)*x(j); y2(j)=a*x(j)+(1-a)*x(j-1); end v1(i)=var(x); %输入信号方差 v2(i)=var(y1); %滤波器1后的方差 v3(i)=var(y2); %滤波器2后的方差 end t=(1:N)/N; plot(t,v1,'r',t,v2,'b',t,v3,'g'); xlabel('a值');ylabel('方差'); legend('未滤波','滤波器1','滤波器2'); 运行结果如下图所示： - 29 -

图7-1

?2=0.04时 不同a值的方差比较

如图7-1可知，运用滤波器滤波后的信号方差小于滤波前，即提高测量精度；滤波器1（AR）的信号方差在a值在小于0.2时信号方差和滤波器2（MA）得到的大致相同；但当a值慢慢增大时，大概到点0.53时，滤波器2的信号方差也突然随之增大，而滤波器1（AR）的方差值却始终在减小，因此可知滤波器1的性能要比滤波器2好。因此在选择用滤波器2（MA）时应该选择a值尽量小于其方差开始增大的点，即0.5左右。

下面给出a值为0.3和0.9的情况下，对白噪声序列方差不同时对滤波效果进行了比较，具体程序Matlab程序如下：

clear;clc; N=1000; for i=1:N var0=i/N; init=2055615866; randn('seed',init); w=sqrt(var0)*randn(1,N); d=3800;%距离 x=d+w;%输入信号 y1(1)=d; y2(1)=d; K=900; a=K/N; %确定a值 for j=2:N y1(j)=a*y1(j-1)+(1-a)*x(j); y2(j)=a*x(j)+(1-a)*x(j-1); end v1(i)=var(x); %输入信号方差 v2(i)=var(y1); %滤波器1后的方差 v3(i)=var(y2); %滤波器2后的方差 end t=(1:N)/N; plot(t,v1,'r',t,v2,'b',t,v3,'g'); xlabel('白噪声方差');ylabel('方差'); - 30 -

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