通项公式求解方法大全(4)

权威,数列解法大全

公比的等比数列，故而132232n n n n n n a a --=-??=- 形式4：分式递推形式1n n n ka a pa q

+=+ 例题6：已知数列{}n a ，其中11a =，满足122n n n a a a +=

+，试求数列的通项。 解析：（取倒数）：将递推公式两边同时取倒数可得1122112222n n n n n n n

a a a a a a a ++==+=+，故而可得数列1n a ??????

是以1为首项，以12为公差的等差数列，故而11221n n n a a n +=?=+。 例题7：已知数列{}n a ，其中11a =，满足123

n n a a +-=+，试求数列的通项。 解析：（化简后取倒数）：将两边同时加1可得1113n n n a a a +++=

+，同时取倒数11311n

n n a a a ++=++，将式子右侧化简可得11

2111n n a a +=+++，假设11

n n b a =+，故而可得121n n b b +=+，为线性数列。根据线性数列的性质可得，数列{}1n b +是以11131112b a +=

+=+为首项，以2为公比的等比数列，故而可得111333*********n n n n n b b ---?-+=??=?-=，亦即1132212

n n a -?-=+化简可得，112211322322n n n n a a --+=

?=-?-?-。

形式5：三元方程()111n n n a ka k a +-=-+

例题8：已知数列{}n a ，其中122,1a a ==，满足1156n n n a a a +-=-，试求数列的通项。

解析：（平衡系数）：将根据递推公式可得()11123632n n n n n n a a a a a a +---=-=-，故而数列{}

12n n a a +-是以-3为首项，以3为公比的等比数列，故而可得111233323n n n n n n n a a a a -++-=-?=-?=-，根据线性数列的性质可得：()11323n n n n a a +++=+，故而数列{}

3n n a +是以5为首项，以2为公比的等比数列，故而可得11352523n n n n n n a a --+=??=?-。

其他：同除、平衡指数、因式分解

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