非线性方程的数值计算方法实验(4)

然后，可按二分法的方法进行下一步运算。 (4)、牛顿-拉夫森法：

此法根据，牛顿-拉夫森定理：设f∈C2[a,b],且存在数p∈[a,b], 满足f(p)=0。如果f(p)≠0,则存在一个数δ>0，对任意初始近似值p0∈[p-δ,p+δ]，使得由如下迭代定义的序列 pk ∞k=0收敛到p:

f(pk 1)

pk=g(pk-1)= pk-1－其中

f(pk 1)

k=1,2,…(7)

其中，函数g(x)由如下定义：

f(x)

g(x)=x--f(x)

且被称为牛顿-拉夫森迭代函数。由于f(p)=0,显然g(p)=p。这样，通过寻找函数的不动点，可以实现寻找方程f(x)=0的根的牛顿-拉夫森迭代。

附：定理(牛顿-拉夫森迭代的加速收敛)：

设牛顿-拉夫森算法产生的序列线性收敛到M阶根x=p,其中

M>1,则牛顿-拉夫森迭代公式：

f(pk 1)

pk=pk 1-Mf(pk 1)

(5)、割线法：

割线法包含的公式与试值法的公式一样，只是在关于如何定义每个后续项的逻辑判定上不一样。需要两个靠近点(p,0)的初始点(p0,f(p0))和(p1,f(p1))。

可根据两点迭代法公式，得到一般项:

f pk (pk pk 1)

pk+1=g(pk,pk 1)=pk- (10)

fpk f(pk 1)

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