初中数学校本教材 - 图文(8)

=?c?a??c?a? = c2?a2， 即b2?c2?a2，

222∴ a?b?c.

【证法12】（利用多列米定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

AB?DC?AD?BC?AC?BD，

∵ AB = DC = c，AD = BC = a， AC = BD = b，

222222∴ AB?BC?AC，即 c?a?b，

DaAcbcbBaC222∴ a?b?c.

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

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∴ AC?BC?AB??AE?CE???BD?CD???AF?BF?

= CE?CD= r + r = 2r,

即 a?b?c?2r， ∴ a?b?2r?c.

22∴ ?a?b???2r?c?，

AbFrrOrEBaDCc2222a?b?2ab?4r?rc?c即 ，

??∵

S?ABC?1ab2，

∴ 2ab?4S?ABC， 又∵ S?ABC?S?AOB?S?BOC1111?a?b?c?rcr?ar?br?S?AOC = 222 = 2

1?2r?c?c?r22= = r?rc，

2?4r?rc??4S?ABC， ∴

24r?rc?2ab， ∴

??222222∴ a?b?2ab?2ab?c， ∴ a?b?c.

【证法14】（利用反证法证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

222222假设a?b?c，即假设 AC?BC?AB，则由

AB2?AB?AB=AB?AD?BD?=AB?AD?AB?BD

22可知 AC?AB?AD，或者 BC?AB?BD. 即 AD：AC≠AC：

AB，或者 BD：BC≠BC：AB.

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在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠A = ∠A，

∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则 ∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中， ∵ ∠B = ∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90o，

∴ ∠ADC≠90o，∠CDB≠90o.

222这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，AC?BC?AB的假设不能成

CaADcbB立.

222∴ a?b?c.

【证法15】（辛卜松证明） A a b

Bbabaa2DaAb1ab2acc2caD1ab2bb2ababC设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长

bcb1ab2aBc1aab2Cb32

是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几

222??a?b?a?b?2ab；把正方形个部分，则正方形ABCD的面积为

ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为

?a?b?21?4?ab?c222 =2ab?c.

222∴ a?b?2ab?2ab?c,

222∴ a?b?c.

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC， 则 AD = c.

∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a， ∴ DM = EM―ED = ?b?a?―a = b. 又∵ ∠CMD = 90o，CM = a，

∠AED = 90o， AE = b， ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC. ∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.

AbEcbc1bD2Ga6HB5F4a3cacC7aM33

∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o，

∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o， ∴ ∠ADC = 90o.

∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o， ∴ ∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE， ∴ ΔABF ≌ ΔADE.

∴ ∠AFB = ∠AED = 90o，BF = DE = a. ∴ 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtΔABF和RtΔBCG中， ∵ AB = BC = c，BF = CG = a， ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.

222c?S?S?S?Sb?S?S?Sa2345126∵ ， ， ?S3?S7，

S1?S5?S4?S6?S7，

22a?b?S3?S7?S1?S2?S6 ∴

=S2?S3?S1??S6?S7? =S2?S3?S4?S5

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