初中数学校本教材 - 图文(7)

12a∵ ΔFAB的面积等于2，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =a2. 同理可证，矩形MLEB的面积 =b2.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

222222∴ c?a?b ，即 a?b?c.

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB， 即 AC2?AD?AB.

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BC2?BD?AB.

222222??AC?BC?AD?DB?AB?AB∴ ，即 a?b?c.

CaADcbB25

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o， ∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o，

AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .

Gb9F8RTcQE7B3a2H4D1P5ca6cAbCc26

又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

c2?S1?S2?S3?S4?S5 ①

∵

S8?S3?S4?1?b??b?a????a??b?a??b2?1ab22， =

S5?S8?S9，

∴

S3?S4?b2?1ab?S82b2= ?S1?S8 . ②

把②代入①，得

c2?S1?S2?b2?S1?S8?S8?S9

2= b?S2?S9 = b2?a2.

222∴ a?b?c.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，

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使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE.

HT83M4E5QbDB2C617RaAc又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，

BT = BE = b， ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o，

GF∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o， ∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a， ∠HGF = ∠BDC = 90o， ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S7?S2.

过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE

= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌

RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 S8?S5.

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由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.

∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE，

∴ ∠FQM = ∠CAR.

又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a， ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S4?S6.

222c?S?S?S?S?Sa?S?Sb?S3?S7?S8， 12345，16，∵

又∵ S7?S2，S8?S5，S4?S6，

22a?b?S1?S6?S3?S7?S8 ∴

=S1?S4?S3?S2?S5 =c，

222即 a?b?c.

2【证法11】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得

AC?AE?AD

2CaEaBacbDA=?AB?BE??AB?BD?

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