初中数学校本教材 - 图文(6)

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.

2??a?b∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

∴

?a?b?21?4?ab?c22222. ∴ a?b?c.

【证法3】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 A1ab三角形的面积等于2. 把这四个直角三

DbGaHEFCc角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

B20

∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o.

2??b?a∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

124?ab??b?a??c2∴ 2.

222∴ a?b?c.

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则

1ab2每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示

形状，使A、E、B三点在一条直线上.

C∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.

DaAcbEcabB∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

21

12c它的面积等于2.

又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC.

1?a?b?2∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2. 1?a?b?2?2?1ab?1c222. ∴ 2222∴ a?b?c.

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，

bFacEPbCHcaBcaD∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

GbcabA22

∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即 ∠CBD= 90o.

又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则

1a2?b2?S?2?ab,2 1c2?S?2?ab2,

222 ∴ a?b?c.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N.

bEacAPbc23

∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o，

FMNcaBCQc

∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90o，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE，

HG交AB于点M，交DE于点 L.

∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

FaCaAbMBbKcD24

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