初中数学校本教材 - 图文(4)

(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.

下面我们证明这个猜想的正确性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+?+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+?+n！×n

=2！+2！×2＋3！×3＋?+n！×n

=2！×3+3！×3+?＋n！×n

=3！+3！×3+?+n！×n＝?

=n！+n！×n=(n＋1)！，

所以原式=(n+1)！-1.

例5 设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．

15

分析与解 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有

x3＜x2+x+2．①

设x=10，则有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

设x=100，则有x3＞x2+x+2．

观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．

那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x3=x2＋x＋2，则

x3-x2-x-2＝0， (x3-x2-2x)＋(x-2)=0， (x-2)(x2+x+1)=0．

16

因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样 (1)当x=2时，x3=x2+x+2； (2)当0＜x＜2时，因为

x-2＜0，x2+x+2＞0，

所以 (x-2)(x2＋x+2)＜0，

即

x3-(x2＋x+2)＜0，

所以 x3＜x2＋x＋2.

(3)当x＞2时，因为

x-2＞0，x2+x+2＞0，

所以 (x-2)(x2+x+2)＞0， 即

x3-(x2＋x＋2)＞0，

所以 x3＞x2＋x＋2．

17

综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答．

练习七

1．试证明例7中：

2．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：

(1)这n条直线共有多少个交点？

(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？

然后做出证明.)

3．求适合x5=656356768的整数x．

(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．)

18

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明） b

cbbbcacaaaaabcbaabccabbb做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、

ab，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11a2?b2?4?ab?c2?4?ab22222， 整理得 a?b?c.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每

1ab个直角三角形的面积等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形

状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，

DbcGaCbcFC、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.

19

aHbAaccEbaB

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库初中数学校本教材 - 图文(4)在线全文阅读。