概率论与数理统计答案（华东师大魏宗舒版）(5)

F(x,y)???0xyy12e?3x?3t?48dtds?12(?edt)(?e?48ds)

00x?3ty =(1?e)(1?e?4y)，所以

x?0,y?0其它

?(1?e?3x)(1?e?4y) F(x,y)???0（3）P(0???1,0???2)

=F(1,2)?F(0,2)?F(1,0)?F(0,0) =1?e?3?e?8?e?11。

3．25 设二维随机变数(?,?)有密度函数

p(x,y)?求常数A及(?,?)的密度函数。

A

?2(16?x2)(25?y2)??解： ????????p(x,y)dxdy?A???????2(16?x2)(25?y2)dxdy 4A?dx?dyA?2???12?20020?16?x25?y所以，A?20；

F(x,y)???20xyx?????yp(t,s)dtdsdtds?2??????(16?t2)(25?s2)

y20xdtds?2(?)()???16?t2???25?s21x?y??2(arctg?)(arctg?)4252?3.26 设二维随机变数(?,?)的密度函数为

?4xy0?x?1,0?y?1p(x,y)??

0其它?求（1）P(0???11,???1);(2)P(???);(3)P(???);(4)P(???)。 24解：

11111522(1)P(0???,???1)???14xydxdy?4?xdx?1ydy?;0024644411(2)P(???)?x?y??4xydxdy?0;

1111(3)P(???)???4xydxdy???4xydydx??2(x?x2)dx?;0x02x?y(4)P(???)?123.31 设p1(x),p2(x)都是一维分布的密度函数，为使

p(x,y)?p1(x)p2(y)?h(x,y)

成为一个二维分布的密度函数，问其中的h(x,y)必需且只需满足什么条件？ 解：若p(x,y)为二维分布的密度函数，则

p(x,y)?0,?所以条件(1)h(x,y)?p1(x)p2(y);(2)?????????p(x,y)dxdy?1

???????h(x,y)dxdy?0得到满足。

?反之，若条件（1），（2）满足，则

p(x,y)?0,?p(x,y)为二维分布的密度函数。

?????p(x,y)dxdy?1

因此，为使p(x,y)成为二维分布的密度函数，h(x,y)必需且只需满足条件（1）和（2）。 3.34 证明：若随机变数?只取一个值a，则?与任意的随机变数?独立。 证：?的分布函数为

?0x?aF?(x)??

?1x?a设?的分布函数、(?,?)的联合分布函数分别为F?(y),F(x,y)。

当x?a时，F(x,y)?P(??x,??y)?0?F?(x)F?(y)。当x?a时，

F(x,y)?P(??x,??y)?P(??y)?F?(x)F?(y)。所以，对任意实数x,y，都有

F(x,y)?F?(x)F?(y)，故?与?相互独立。

3.35 证明：若随机变数?与自己独立，则必有常数c，使P(??c)?1。

证：由于P(??x)?P(??x,??x)?P(??x)P(??x)，所以F(x)?[F(x)]，

2F(x)?0或1。由于F(??)?0,F(??)?1，F(x)非降、左连续，所以必有常数c，使得

?0x?cF(x)??

0x?c?故P(??c)?1。

3.36设二维随机变量(?,?)的密度函数为

?1?p(x,y)?????0问?与?是否独立？是否不相关？

1?x2x2?y2?1其它

解：p?(x)??dy?1?x2??21?x2?,(|x|?1);p?(x)?0,(|x|?1)。

同理，p?(y)?21?y2?,(|y|?1);p?(y)?0,(|y|?1)。

由于p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不相互独立。

又因p(x,y),p?(x),p?(y)关于x或关于y都是偶函数，因而E??E??E(??)?0，故cov(?,?)?0， ?与?不相关。

3.45 设随机变数?服从N(0,1)分布，求?的分布密度。 解：在x?0时，

P(??x)?P(?x???x)??所以?的分布密度

x12??xe?t22dt。

p?(x)?2/??e2?x2/2,(x?0);p?(x)?0,(x?0)。

?3.46 设随机变数?服从N(a,?)分布，求e的分布密度。

解：

y?ex的反函数x?lny,dx?1/y?dy。由?服从N(a,?2)分布，推得??e?的分

布密度为

?1?12??oxp??(lny?a)??y?0, 2p?(y)??2??y?2???y?0.?03.49 设随机变量?与?独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为

p(x)?求?+?的密度函数。

1?x/a?e,(a?0) 2a解： p?(x)?p?(x)??1?x/a， ?e2ap???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy，

??当x?0时，

p???(x)??1?|x?y|?|y|?exp???dy??4a2a???x?y?yx?y?ya0?x?1a?2[?edy??e04a??1x?xa?(1?)e4aady??ex??y?x?yady]

当x?0时，

x?1p???(x)?2[?e4a??x?y?yady??ex0?y?x?yady??e0??y?x?yady]?1xx(1?)ea 4aa所以

1?|x|p???(x)?2(a?|x|)ea

4a3.50 设随机变量?与?独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为

p(x)?证明：??证：

1

?(1?x2)1(???)也服从同一分布。 211dx???21?x21?(y?x)2?2x?y12(x?y)?y?2[?]dx222????y(y?4)x?1(x?y)?1

122??2[ln(x?1)?yarctgx?ln((x?y)?1)?yarctg(x?y)]|???y(y2?4)2??(y2?4)p???(y)???1所以

p12(???)(z)?212? 22?[(2z)?4]?(1?z)即??1(???)也服从相同的柯西分布。 23.51 设随机变量?与?独立，分别具有密度函数

??e??xp?(x)???0??e??xp?(x)???0（其中??0,??0），求?+?的分布密度。 解：x?0时，

x?0x?0x?0x?0

p???(x)???e??(x?y)?e??ydy0x???e??x?x0e?(???)ydy

????x??x??(???)[ee],?????2??x??xe,????x?0时，

p???(x)?0

3.56 设随机变量?与?独立，且分别具有密度函数为

1??p?(x)???1?x2??0|x|?1|x|?1

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库概率论与数理统计答案（华东师大魏宗舒版）(5)在线全文阅读。