概率论与数理统计答案（华东师大魏宗舒版）

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)} A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，

r4。则??{?1，?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC?C成立？(3)什么时候关系式C?B是正确的？(4) 什么时候A?B成立？

解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) ABC?C 等价于C?AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1?i?n）。用Ai表示下列事件：

(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1)

?A; (2) ?A??A; (3) ?[A(?A)];

iiinnnnniji?1i?1i?1i?1j?1j?i(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为

i,j?1i?j?AAinj；

1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解 样本点总数为A8?8?7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约

2分数”包含A3?2A3?A5?2?3?6个样本点。于是P(A)?2112?3?69?。

8?7141.7 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？ 解 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!个样本点。所以P(A)?3!2!2!2!48 ?13!13!1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从

第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为

97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有

一位乘客离开电梯”。所以包含A79个样本点，于是

A97P(A)?7。

91.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？

94?9????，所以解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)?10000?10?94?9??1??? P(A)?1-P(A)?1?10000?10?1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：

(1)该数的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1； (3)该数的立方的最后两位数字都是1；

441。(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所542以答案为所以样?(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，

105解 (1) 答案为

本空间包含10个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a?7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是 1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。

解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5?3?1种接法，同样对尾也有5?3?1种接法，所以样本点总数为(5?3?1)。用A表示“6根草恰好连成一个

22环”，这种连接，对头而言仍有5?3?1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4?2。所以A包含的样本点数为

(5?3?1)(4?2)，于是P(A)?(5?3?1)(4?2)8?(2) 2n根草的情形和(1)类似得 15(5?3?1)21.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个

乘客候车时间不超过3分钟的概率。 解 所求概率为P(A)?3 5n?11的概率为2。 nn1.15 在?ABC中任取一点P，证明?ABP与?ABC的面积之比大于解 截取CD??1CD，当且仅当点P落入?CA?B?之内时?ABP与?ABC的面积之比大于n221?CD2?A?B?C有面积CD?n?11n?，因此所求概率为P(A)?。 ??222?ABC的面积nnCDCD1.17 在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求：

(1) x2位于x1与x3之间的概率。(2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。 111?3??132?1 解 (1) P(A)? (2) P(B)?3121.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例

说明之。

解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。 1.22 设A1、A2为两个随机事件，证明： (1) P(A1A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2);

(2) 1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2).

证明 (1) P(A1A2)?P(A1?A2)?1?P(A1?A2)=1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)

(2) 由(1)和P(A1A2)?0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。

1.23 对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A) 证明 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB)?P(AC)?P(ABC)

?P(AB)?P(AC)?P(BC)

1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：

(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。

解 事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。

(1) P(ABC)?P(A?(AB?AC))=P(A)?P(AB?AC)=30% (2) P(ABC)?P(AB?ABC)?7%

(3) P(BAC)?P(B)?[P(AB)?P(BC)?P(ABC)]?23% P(CAB)?P(C)?[P(AC)?P(BC)?P(ABC)]?20% P(ABC?+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73% (4) P(ABC?ACB?BCA)?P(ABC)?P(ACB)?P(BCA)?14% (5) P(A?B?C)?90%

(6) P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?90%?10%

1.26 某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？

解 用Ai表示“第i张考签没有被抽到”， i?1,2,?,N。要求P(nn?A)。

ii?1N?N?1?，?N?N??N?2?，??，P(Ai)??P(A1?AN)??P(AiAj)?????0 ??N??N??N?n?N??N?1?1?1?N??N?1?????P(A)???(?1)???? ?i?1???1i?1???N????N?Nnn?N??N?2?2?1?N??N?2?????P(AiAj)????(?1)?2??N??2???N?，??

???1?i?N?????nn?N?i?所以P(?Ai)??(?1)??

?N?i?1i?1i?1NNn1.27 从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？

解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为a1i1a2i2?anin，当且仅当

1,2,?,n的排列(i1i2?in)中存在k使ik?k时这一项包含主对角线元素。用Ak表示事件

“排列中ik?k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则

P(Ai)?N(n?2)!(n?1)!(1?i?j?n)，?? 1?i?n P(AiAj)?n!n!ni?1?n?(n?i)!ni?11??(?1)所以P(?Ai)??(?1)? ??i?n!i!i?1i?1i?1??1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假

设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。

解 用b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为：

??{(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}

其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”， B表示“有男孩”，则

P(B|A)?P(AB)6/86??

P(A)7/871.30 设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，

(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 (2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 解（1）设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B表示“所取产品都是不合

?m??m??M?m???2?????1????1?? 格品”，则 ??????P(A)?P(B)??M???2?????m???2???? ?M???2????P(B|A)?P(AB)P(B)m?1 ??P(A)P(A)2M?m?1(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一件合格品，

一件不合格品”。则

?m??M?m??M?m???1????1?????2?? ??????P(C)?P(D)??M???2?????m??M?m???1????1?? ?????M???2????P(D|C)?P(CD)P(D)2m??

P(C)P(C)M?m?11.31 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：

(1)已知前k?1(k?n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率；2)第k(k?n)个人摸到的概率。

解 设Ai表示“第i个人摸到”， i?1,2,?,n。

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