概率论与数理统计答案（华东师大魏宗舒版）(3)

出现次数之差的绝对值，求(?,?)的联合分布列及边际分布列。

2.21 设随机变量?与?独立，且P(??1)?P(??1)?p?0，

1若???为偶数又P(??0)?P(??0)?1?p?0，定义???，问p取什么值时???0若???为奇数与?独立？

解P(??1)?P(??0)P(??0)?P(??1)P(??1)=(1?p)?p

22P(??0)?P(??0)P(??1)?P(??0)P(??1)?2p(1?p)

而P(??1,??1)?P(??1,??1)?p2，由P(??1,??1)?P(??1)P(??1)得p?1

2 2.22 设随机变量?与?独立，且P(???1)?P(???1)?1，定义????，证明2?,?,?两两独立，但不相互独立。

证明P(??1)?P(??1)P(??1)?P(???1)P(???1)?1 2P(???1)?P(??1)P(???1)?P(???1)P(??1)?因为P(??1,??1)?P(??1,??1)?1 21?P(??1)P??1) 41P(??1,???1)?P(??1,???1)?P(??1)P???1)

41P(???1,??1)?P(???1,???1)?P(???1)P(??1)

41P(???1,???1)?P(???1,??1)?P(???1)P(???1)

4所以?,?相互独立。同理?与?相互独立。

但是P(??1,??1,??1)?P(??1)P(??1)P(??1)，因而?,?,?不相互独立。

??2?1012.25 已知离散型随机变量?的分布列为?1111?6515?53?211?，求???的分布列。 ?30?17111 , P(??1)? , P(??4)? , P(??9)? 530530?01??013?2.26 设离散型随机变量?与?的分布列为?：?131? ， ? ：?12?，且?与?????33???288?解P(??0)?相互独立，求?????的分布列。

?0解 ?1??61112421431244?1? ?12?2.27 设独立随机变量?与?分别服从二项分布b(k;n1,p)与b(k;n2,p)求???的分布列。

解 设?为n1重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)?p），?为n2重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)?p），而?与?相互独立，所以???为n1?n2重贝努里试验中事件A发生的次数，因而

?n1?n2?kn1?n2?kP(????k)???k??pq??,k?0,1,,?,n1?n2。

2.28 设?与?为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为

P(??n)?P(??n)?解P(????n)?1,n?1,2,? 求???的分布列。 n211n?1 ??kn?kn222k?1n?1?P(??k)P(??n?k)??k?1n?11E?2及E(??2)2。求E?、 ,k?1,2,3,4,5，

511222222解，E??(1?2?3?4?5)?3，E??(1?2?3?4?5)?11

552.29 设随机变量?具有分布：P(??k)? E(??2)2?E?+4E?+4=27

2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求

查得不合格品数的数学期望。

2?10?1解 设，则?i的分布列为?114?，因而E?i?。设?为查得的不合格品数，则

??15?1515?????i，所以E???E?i?10。

i?1i?11501502.38 从数字0，1，?，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。

解 设?为所选两个数字之差的绝对值，则P(??k)?n?k?1,k?1,2,?,n，

?n?1???2????nn?k?12n?22?[(n?1)k?k]?于是E???k。 ?n?1n(n?1)3??k?1k?1???2???n2.39 把数字1,2,?,n任意在排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。

?1数字k出现在第k个位置上解 设?k???0数字k不在第k个位置上0??1?1? 则?k的分布列为：11???n??nnn1于是E?k?P(?k?1)?，设匹配数为?，则????k，因而E???E?k?1。

nk?1k?12.40 设?为取非负整数值的随机变量，证明： (1) E???P(??n);

n?1?(2) D??2?nP(??n)?E?(E??1).

n?1?证明 (1)由于E????nP(??n)存在，所以该级数绝对收敛。从而

n?0?E???nP(??n)?n?1??n?1i?12?nP(??n)???P(??n)??P(??i)。

i?1n?ii?1????(2) D?存在，所以级数E???n2P(??n)也绝对收敛，从而

n?0?D??E??E??E?(E??1)??n(n?1)P(??n)?E?(E??1)

2n?1?2??iP(??n)?E?(E??1)?2??iP(??n)?E?(E??1)

n?1i?1?i?1n?i?n???2?nP(??n)?E?(E??1).

n?12.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。

解 设成功与失败均出现时的试验次数为?，则

P(??1)?1，P(??n)?pn?1?qn?1,n?2,3,?(q?1?p)

利用上题的结论，E??P(??1)+

?P(??n)=1+?(pn?2n?2??n?1?qn?1)

pqp2?p?1 ?1???1?p1?qp(1?p)2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p，当生产出k个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。

解 设第i?1个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为?i，i?1,2,?,k.又在两次检修之间产品总数为?，则??因?i独立同分布，P(?i?j)?q??.

ii?1j?1kp,j?1,2,?(q?1?p)，由此得：

2E?i??j?1?jqj?1p?1p，E?i??j?1?j2qj?1p?2?p， 2pD?i?E?i2?(E?i)2?k1?p。 p2kk(1?p)k。 E???E?i?，D???D?i?2ppi?1i?12.46 设随机变量?与?独立，且方差存在，则有

D(??)?D??D??(E?)2?D??D??(E?)2（由此并可得D(??)?D??D?）

证明 D(??)?E???(E??)?E?E??(E?)(E?)

2222222?E?2E?2?E?2(E?)2?E?2(E?)2?(E?)2(E?)2

?E?D??(E?)D??D??D??(E?)?D??D??(E?)

2.47 在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为?和?：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在??k(0?k?9)的条件下?的分布列。

解 (1) P(??i|??k)?(2) P(??i|??k)?2222110i?0,1,?,9.

1(i?0,1,?,9,i?k) , P(??k|??k)?0 92.49 在n次贝努里试验中，事件A出现的概率为p，令

?i???1在第i次试验中A出现?0在第i次试验中A不出现i?1,2,?,n

求在?1??2????n?r(0?r?n)的条件下，?i(0?i?n)的分布列。 解 P(?i?0|???2????n?r)?P(?i?0,?1????i?1??i?1????n?r)

P(?1??2????n)1?n?1?rn?1?r?pqq?q? ?n?r ????n?n?rn?r??pq?r???P(?i?1|?1??2????n?r)?1?n?r?r。

nn2.50 设随机变量?1，?2相互独立，分别服从参数为?1与?2的普哇松分布，试证：

?1??n???? P(?1?k|?1??2?n)???k??????????12?k??1??1???????12??n?k

P(?1?k,?1??2?n)证明 P(?1?k|?1??2?n)?

P(?1??2?n)?P(?1?k)P(?2?n?k)

P(?1??2?n)由普哇松分布的可加性知?1+?2服从参数为?1+?2的普哇松分布，所以

?k1 P(?1?k|???2?n)?k!1(n?k)!(?1??2)n?(?1??2)en!e??1??n2?ke??2?1??n???????k??????????12?k??1??1???????12??n?k

2.51 设?1，?2，?，?r为r个相互独立随机变量，且?i(1?i?r)服从同一几何分布，即有P(?i?k)?qp1k?1,k?1,2,?,(1?i?r),其中q?1?p。试证明在

1???2????r?n的条件下，(?,?2,?,?r)的分布是均匀分布，即

P(?1?n1,?,?r?nr|?1??2????r?n?1，其中n1?n2???nr?n. n?1????r?1????证明 P(?1?n1,?,?r?nr|?1??2????r?P(?1?n1,?,?r?nr,?1????r?n)

P(?1????r?n)

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