2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(人教A版必修2)2020—2021(8)

14．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，

则异面直线AD1与DM

所成的角为

90°.

解析：

如图所示，连接BC1，则BC1∥AD1，则异面直线AD1与DM所成的角为直线BC1与DM 所成的角．∵M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，∴BC1∥MN.∵∠CMN＝90°，∴BC1⊥MC，又MC是斜线DM在平面BCC1B1上的射影，∴DM⊥BC1，∴直线BC1与DM所成的角为90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.

15．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB ＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，求AA1的长．

解：如图，连接CD1，AC．

由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝23，

∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，

∴∠AD1C为A1B和AD1所成的角．

∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，

∴∠AD1C＝90°.

∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，且底面是菱形，∴△ACD1是等腰直角

三角形，∴AD1＝

2

2AC

．

∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，∴AC＝23×sin60°×2＝6，

∴AD1＝

2

2AC＝32，∴AA1＝AD

2

1

－A1D21＝ 6.

8

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