初中毕业生学业考试数学模拟试卷II参考答案
(2008?莆田)如图:抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)已知AD=AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t 的值;
(3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC有最小值?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.(注:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=- b2a)
分析:(1)因为抛物线经过的三点为与两坐标轴的交点,故有两种方法(1)用一般式解答,(2)用交点式(两点式)解答;
(2)找到变化过程中的不变关系:△CDQ∽△CAB,根据相似三角形的性质计算;
(3)因为A、C关于x= 12对称,所以MQ+MC的最小值即为MQ+MA的最小值,根据两点之间线段最段,A、M、Q共线时MQ+MC可取最小值.
解答:解:
(1)解法一:设抛物线的解析式为
y=a(x+3)(x-4)
因为B(0,4)在抛物线上,
所以4=a(0+3)(0-4)
解得a=- 13
所以抛物线解析式为
y=- 13(x+3)(x-4)=- 13x2+ 13x+4
解法二:设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
依题意得:c=4且{9a-3b+4=016a+4b+4=0
解得{a=-13b=13
所以所求的抛物线的解析式为y=- 13x2+ 13x+4.
(2)连接DQ,在Rt△AOB中,AB= AO2+BO2= 32+42=5
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