2010高考数学第一轮复习第十三章空间向量与立体几何教案(12)

（1）证明 设=p, =q，=r.

由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.

=-=

1212

（+）-12

11=22

（q+r-p），

2

2

2

2

∴MN²AB=（q+r-p）²p=（q²p+r²p-p）=（a²cos60°+a²cos60°-a）=0. ∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.

（2）解 由（1）可知=（q+r-p）∴||==（q+r-p） =［q+r+p+2（q²r-p²q-r²p）］=[a+a+a+2（=³2a=

1

4

2

12

12

22

14

2

14

222

14

222

a2a2a2

--）]

222

a222

. ∴|MN|=a,∴MN的长为a.

222

(3)解 设向量与的夹角为 .

∵AN=(AC+AD)=(q+r), =AC-AM=q-p,

∴²=（q+r）²（q-p）=（q-q²p+r²q-r²p） =(a-a²cos60°+a²cos60°-a²cos60°)=又∵||=||=

a， 2

2a2

²²cos=. ∴cos =， aa

3222

2

3

12

2

121212

121212

2

1212

12

22

12

2

12

a2a2a2a2

（a-+-）=.

4242

2

∴²=||²||²cos =

2

3

∴向量AN与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM夹角的余弦值为. 例3、 （1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a²x=-18的向量x的坐标；

（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P的坐标使得=（-AC）；

（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a²b；②a与b夹角的余弦值； ③确定 ， 的值使得 a+ b与z轴垂直，且（ a+ b）²（a+b）=53. 解 （1）∵x与a共线，故可设x=ka，

由a²x=-18得a²ka=k|a|=k（4 1 4）=9k，∴9k=-18，故k=-2. ∴x=-2a=（-4，2，-4）.

（2）设P（x，y，z），则=（x-2，y+1，z-2）， ，=（-4，3，1），∵==（2，6，-3）

1

2

12

2

2

12

（-）.

12

32

∴（x-2，y+1，z-2）=［（2，6，-3）-（-4，3，1）］=（6，3，-4）=(3，，-2)

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