高中数学不等式经典例题(5)

高中数学不等式经典例题

分析：已知数列的通项公式是数列的前n项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式a1 a2 an a1 a2 an，问题便可解决．

证明：∵m n ∴am an

sin(n 1)asin(n 2)asinma

2n 12n 22m

sin(n 1)asin(n 2)asinma

n 1n 2m

222

1

12n 1

12n 2

1

m 2

(1 n 1

)

m n 11 2

1

1111(1 ) (0 1 1)． nm nnm n2222

11111

说明：n 1 n 2 m是以n 1为首项，以为公比，共有m n项的等比数列

22222

的和，误认为共有m n 1项是常见错误．

正余弦函数的值域，即sin 1，cos 1，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．

典型例题八

例8 已知f(x) x2 x 13，x a 1，求证：f(x) f(a) 2(a 1)

分析：本题中给定函数f(x)和条件x a 1，注意到要证的式子右边不含x，因此对条件x a 1的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用a 1 x a 1，替出x；(3)用绝对值的性质x a x a 1 x a 1进行替换．

证明：∵f(x) x2 x 13，∴f(a) a2 a 13， ∵x a 1，∴x a x a 1． ∴x a 1，

∴f(x) f(a) x2 a2 a x

(x a)(x a) (x a)

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