大连理工大学2010级矩阵与数值分析试题答案(6)

六、（10分）已知 (x)f(x)dx Akf(xk)为Gauss型求积公式，其中 (x)为权函数；设l0(x)，

a

k 0

b

n

l1(x)，(1) (2)

,ln(x)为以x0,x1,,xn为节点的Lagrange插值基函数．证明： (i j)；

b

a

(x)li(x)lj(x)dx 0

b

b

k 0

n

a

(x)lk2(x)dx (x)dx．

a

证 (1) 因为Gauss型求积公式的代数精度为2n 1，而li(x)lj(x)为2n次的代数多项式， 所以

b

a

(x)ldx i(x)jl(x)

k 0

n

ki

Al()l．(x)kxjk

b

又因为当 i j 时，li(xk)lj(xk) 0，所以 (x)li(x)lj(x)dx 0． -------------------5分

a

(2) 对0,1,

,n中任意固定的i，li2(x)为2n次的代数多项式，所以

n

b

a

(x)l(x)dx Akli2(xk) Ai，

2

i

k 0

n

b

2k

n

n

b

b

从而 (x)l(x)dx Ak (Ak 1) (x) 1dx (x)dx．------------------10分

k 0

a

k 0

k 0

a

a

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