大连理工大学2010级矩阵与数值分析试题答案(4)

三、（8分）求拟合下列数据的最小二乘曲线y a bx.

解 法方程组

510 a 0.2

1030 b 10.4 ------------------------6分

解得 a 1.96,

b 1， -------------------------------------8分

最小二乘解 y 1.9 6x．

四、（8分）设 是Rn上的1-向量范数，P Rn n为非奇异矩阵．对于任意x Rn，定义

x

P

Px1．证明：

n

R

是上的一种向量范数，并且xP

P

maxpj

1 j n

1

x1，其中

pj(j 1,2,

,n)为P的列向量．

P

证 （1）非负性 对于任意x

Rn，x

Px 0； 并且

x

P

0

Px 0 Px 0 x 0； -------- ---------2分

P

（2）齐次性

x

P( x)1 (Px)1 Px x

P

P

, R； ---------4分

P

（3）三角不等式

x y综上，

P(x y) Px Py1 Px Py1 x yP；-----6分

n

R是上的一种向量范数． P

（4）不等式的证明

方法一、 由算子范数与向量范数的相容性，

x

P

Px

P x

maxpj

1 j n

1

x1． ---------------------------8分

方法二、x

P

Px x1p1 x2p2 x1p11 x2p21

xnpn

xnpn1

xn pn1

1

x1 p11 x2 p21

(x1 x2

xn) maxpj

1 j n

maxpj

1 j n

x ． --------------------8分

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