大连理工大学2010级矩阵与数值分析试题答案(5)

u (t) f(t,u)

五、（12分）对于解常微分方程初值问题 的线性二步法

u(t0) u0

51h

un 2 un 1 un 7fn 2 8fn 1 3fn

4416

（1）求其局部截断误差（必须写出主项），并指出该方法是几阶方法； （2）讨论收敛性； （3）求绝对稳定区间． 解 （1）c0 c1 c2 c3 0,

151159645

( 24) (8 23 7) ； ------------------------------------------4分 4!43!16969696

5

局部截断误差 Rn 2(h) u(4)(tn)h4 O(h5)； ----------------------------------------5分

96

该方法是三阶方法． ----------------------------------------6分

511

（2） 由 2 0， 解得 1 1, 2 ． 知该方法满足根条件，又因其阶

444c4

p 1，所以该二步法收敛． -----------------------------------8分 51728375813（3）特征方程 2 ， (1 ) 2 ( ) ( ) 0，

4416161616416416

(16 7) 2 (20 8) (4 3) 0， 2

20 84 3 0，

16 716 7以下解不等式

20 84 320 4 1 2． （*） ------------------------10分

16 716 716 7首先由

20 4 2，得 20 4 32 14,

16 7其解 0；

再由

20 820 4，得 4 20 20 8 20 4，其解 10 0；

16 716 7所以，（*）不等式的解集为 10 0，即此线性二步法的绝对稳定区间为

( 10,0)． ------------------------------------12分

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