2011-2012学年度下学期期末考试高二年级文科数学试卷参考答案(4)

若a 2，f (x)在[1,e]上非负（仅当a 2，x=1时，f (x) 0），故函数f(x)在

[1,e]上是增函数，此时[f(x)]min f(1) 1．

若 2e2 a 2，当x

a

时，f (x) 0；当1 x 2 a

时，f (x) 0，此时f(x) 2

是减函数； 当

a a

x e时，f (x) 0，此时f(x)是增函数．) 故[f(x)]min f(22

aaa

ln( ) ．…………………………………………………………4分 222

若a 2e2，f (x)在[1,e]上非正（仅当a 2e2，x=e时，f (x) 0），故函数f(x)

在[1,e]上是减函数，此时[f(x)]min f(e) a e2．

综上可知，当a 2时，f(x)的最小值为1，相应的x值为1；当 2e2 a 2时，f(x)

的最小值为

aaaa

相应的x值为；当a 2e2时，f(x)的最小值为a e2， ln( ) ，

2222

相应的x值为e．……………………………………………………………………8分 （3）不等式f(x) (a 2)x， 可化为a(x lnx) x2 2x．

∵x [1,e], ∴lnx 1 x且等号不能同时取，所以lnx x，即x lnx 0，

x2 2x

因而a （x [1,e]）…………………………………………………………10分

x lnxx2 2x(x 1)(x 2 2lnx)

令g(x) （x [1,e]），又g (x) ，

x lnx(x lnx)2

当x [1,e]时，x 1 0,lnx 1，x 2 2lnx 0，

从而g (x) 0（仅当x=1时取等号），所以g(x)在[1,e]上为增函数，

故g(x)的最小值为g(1) 1，所以a的取值范围是[ 1, )． …………………12分

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