高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第二节一元二次不等式(5)

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解下列不等式：

(1)0<x 2－x －2≤4；

(2)x 2－4ax －5a 2>0(a ≠0)．

解：(1)原不等式等价于

????? x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4

?????? x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0 ?????? x －x ＋，x －x

＋?????? x >2或x <－1，－2≤x ≤3.

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．

(2)由x 2－4ax －5a 2

>0知(x －5a )(x ＋a )>0.

由于a ≠0故分a >0与a <0讨论．

当a <0时，x <5a 或x >－a ；

当a >0时，x <－a 或x >5a .

综上，a <0时，解集为{x |x <5a 或x >－a }；a >0时，解集为{x |x >5a 或x <－a }． 热点二 一元二次不等式恒成立问题

考向1 形如f (x )≥0(x ∈R )恒成立问题

【例2】 已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解】 不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．

当m ＝0时，1－2x <0，则x >12

，不满足题意； 当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，

需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即????? m <0，Δ＝4－4m －m ，

不等式组的解集为空集，即m 无解．

综上可知不存在这样的m .

考向2 形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])恒成立问题

【例3】 设函数f (x )＝mx 2

－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求

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